为什么有理数测度为0?
有理数在实数集中的测度为0，是因为有理数在实数线中是可数的，而单个点的测度为0。
首先，我们需要理解什么是“测度”。在数学中，测度是一个函数，它为集合的子集分配一个非负实数，这个实数可以理解为这个子集的“大小”或“长度”。在实数线上，我们通常使用勒贝格测度来测量集合的大小。
接下来，我们来看有理数。有理数是可数的，这意味着我们可以将它们一一列举出来，如1，1/2，1/3，2/3，等等。事实上，有理数在实数线中是稀疏的，它们之间没有其他的有理数。
因为每个有理数都可以被看作是一个单独的点，而单个点的测度为0（在勒贝格测度下）。由于有理数是可数的，我们可以将它们看作是一个个单独的点的集合，因此有理数集合的测度就是所有这些单独的点的测度的总和，也就是0。
举一个例子，考虑区间[0,1]内的所有有理数。尽管这些有理数在[0,1]内是密集的，但它们的总数是可数的，因此我们可以将它们看作是一个个单独的点。由于每个点的测度为0，所以[0,1]内的所有有理数的测度也为0。这与[0,1]的实数测度（即长度）为1形成了鲜明的对比，这说明实数集中几乎所有的数都是无理数。
在数轴上随意点一个点,点到有理数和无理数哪个概率大?
当然是点中无理数的概率大。有理数是可数集，无理数是不可数集。所以有理数在实数中测度为0，无理数测度为1。也就是点到有理数的概率为0%，点到无理数的概率为100%。所以你几乎不可能点到有理数，几乎每次肯定都点到无理数。
在[0,1]中任取一个实数,为有理数\/无理数的概率各是多少?
为无理数的概率是1。有理数集是可数集，而无理数集是不可数集，所以，取到有理数的概率是0，取到无理数的概率是1。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。
实数集的测度是多少
0。所有可数实数集的(勒贝格)测度都是0。实数集，包含所有有理数和无理数的集合，通常用大写字母R表示。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。
有理数与无理数个数的比较
最简单的想法：无理数+有理数=无理数（光是这类函数就有无穷多了。。）如果有理数有N个，那么每个无理数，都能对应N个无理数 而无理数又有无穷多个，所以有理数和无理数的比例是1：无穷大=0
整数具有稠密性吗?
无理数和有理数都具有稠密性，也就是说，任何两个不相等的实数之间有无穷多个有理数和无穷多个无理数。无理数比有理数多，多得多。有理数有无穷多个，与自然数一样多，所以称为可数无穷。无理数与实数一样多，不可数。在区间[0,1]上，有理数的测度为0,无理数的测度为1....
数轴上的每一个点都表示一个有理数对吗
我们取一个区间来包含这个数：对于序列的第i个数a(i)，取区间[a(i)-\/(2^(i+1)),a(i)+\/(2^(i+1))],这个区间包括了a(i)，且长度为\/(2^i)，根据无限项等比数列求和，已知i从1到无穷大，这些区间的总长度为。由于可以取任意小，而有理数点定义的区间，所以有理数的测度为0。
测度论(1)外测度
A) ≤ μ*(B)。外测度的性质包括：1）空集的外测度为0；2）单调性；3）次可数可加性。例如，全体有理数的Lebesgue外测度为0，区间[a, b]的Lebesgue外测度为b-a。定理2：若E和F是两个集合，且μ*(E) = μ*(F)，那么μ*(E ∪ F) = μ*(E) + μ*(F)。证明：留待后续补充。
为什么实数轴上取到有理数的概率为零
实变函数学了没?有理数与自然数一样是可列的，测度为零，即概率为零
随意在数轴上取一点,取到有理数的概率是多少
概率是零 楼上是明显的中立悖论，数轴上的有理数和无理数不是一样多的（这一点的证明很简单，只需证有理数和无理数的和为无理数即可）根据测度论，有理数的测度为0 将概率表示为测度的比值，0：∞=0 也就是说，在数轴上任意投一点，投中有理数的概率为零 ...
无理数具有稠密性吗,无理数多还是有理数多
无理数比有理数要多得多。下面的图片可以参考 由此可知实数是不可数集，有理数是可数集，而实数仅分为有理数与无理数之并，所以无理数是不可数集，因此无理数比有理数多，而且多很多！
太戴淘儿：[答案] 当作X轴上0-1吧 因为我们0到1常用的数字比如0.1啊0.2啊0.125啊根号2啊根号3/2啊派啊e啊,前三者是有理数后三者是无理数的 有理数的个数是无穷小的,也就是无穷少,相当与0(无穷小有时可以当作0的) 那剩下的就是无理数了比如0....
孝义市19317734386： 为什么无理数的测度为1而有理数的就为0啊?谁能给个回答?要实实在在的论证过程,不要东说西说的? - ？
太戴淘儿： 因为有理数是可数集合,可数集合的测度都为0,因为有理数之外只剩无理数了,所以[0,1]上无理数的测度就为1了. 可数集体测度为0的简单证明如下: 任取e>0,(艾普西隆) 设[0,1]内有理数为{rn}(n是下标) 对于每个rn,可以用一个区间将其覆盖,(rn-e/2^(n+1),rn-e/2^(n+1))覆盖rn,区间长度为,e/2^n 这样将全体有理数覆盖后,我们来看所有区间的总长度, 覆盖r1的区间长度为:e/2 覆盖r2的区间长度为:e/2^2 覆盖r3的区间长度为:e/2^3 ........ 将以上区间长度相加结果为e,由于e的任意性,也就是覆盖全体有理数的区间长度可以任意小,因此只能为0.
孝义市19317734386： 在[0,1]区间内的有理数的Lebesque 测度为什么是0 而无理数是1 看过一些解释 说可数的数集的Lebesque测度都为0 但是还是有疑问 - ？
太戴淘儿：[答案] 给一个不是很严密但是比较直观的解释 所谓可数,就是说我们可以把它表示为一个数列a1,a2,a3. 那么对于任意比1小的正数... 这样,B1,B2.这个序列一定能覆盖[0,1]上的有理数集合 另外,对于任意的k,Bk的测度为r^k 那么 B1,B2.这个序列的并的测度...
孝义市19317734386： 有理数集的测度?求详解! - ？
太戴淘儿： 该集合的Lebesgue测度为0,因为Lebesgue测度满足可数可加性,因此只要考虑区间[0,1]即可,然后记这区间里的全体有理数所成之集为E,这集合是可列集,因此以每个有理数a(i)为中心,做长度为ε/2^i的区间U(i),然后利用外测度的次可数可加性,即m*(E)≤m*(∪U(i))≤∑m*(U(i))=∑ε/2^i=ε→0,其中求和号和可数并符号的指标均跑过全体正自然数.
孝义市19317734386： 整数集z的测度 - ？
太戴淘儿： 你说的测度是勒贝格测度,测度为0.勒贝格测度里面,一个点的测度是0,可数个点的测度也是0,所以有理数的测度是0.当然整数测度也是0. 直观上可以这么理解,实数轴上,整数的点相比非整数点而比,非常之少,乃至可以忽略,所以非整数测度为1,那么整数测度1-1=0.
孝义市19317734386： 小概率事件是否有可能发生 - ？
太戴淘儿： 5”这个事件是可能发生的,测度为0,也是易错点,全体无理数的测度为1,1]上“取到点0,则我们说鉴定不准确是个小概率事件,1]上.不只是一个点.97%,切记,但“概率为零的事件”不一定是“不可能事件,同样“必然事件”和“概率为...
孝义市19317734386： 在数轴上随机一点,它是有理数的概率是0,这句话对么?对,求证明.不对,求证明……谢谢~ - ？
太戴淘儿：[答案] 对,因为有理数是可数的,无理数是不可数的,有理数的测度为0.关于有理数可数的问题参见我以前回答过的一个贴子.如果你不懂可数和不可数的概念,那你现在就不用管这个问题了,记住结论就行,以后就会懂的.我给你写个形象的...
孝义市19317734386： 区间[0,1]中全部无理点集A是可测集,且mA=1 - ？
太戴淘儿： 你得先说是什么测度 不过多半是 Lebesgue 测度 首先,所有的[0,1]中的有理数是可数的,因此是 Borel 集,因此它的余集也是 Borel 集.[0,1]的 Lebesgue 测度是1,其中有理数的测度是0(因为它是可数的),所以其测度为 1
孝义市19317734386： 黎曼函数的性质 - ？
太戴淘儿： 定理:黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0. 证明:对任意x0∈(0,1),任给正数ε,考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点,因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式(q∈N+),且对每个q,函数值等于1/q的点都是有限的,所以...
孝义市19317734386： 证明有理数集是零测集 - ？
太戴淘儿： 有理数集是可数集, 可数集一定是零测集(Lebesgue测度下). 设可数集A = {a1, a2, a3,...} 任取c > 0, 考虑可数个开区间: (a1-c/4, a1+c/4), (a2-c/8, a2+c/8), (a3-c/16, a3+c/16),... 区间总长为c, 并构成A的覆盖. 于是A的外测度 ≤ c. 由c的任意性, A是零测集.
