无穷级数an=sinnx/n为什么是收敛的？
取点列x=1/n
原级数化为∑sin1/n，故不收敛
第一个是收敛的
Sn=1+1/2^2+....+1/n^2
<1+1/1*2+1/2*3+...+1/(n-1)*n
=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1-1/n=1-1/n<1
部分和有界，因此收敛。
第二个是发散的，
Sn=1+1/2+...+1/n=lnn+γ+O(1/n)->+∞
用Dirichlet判别法就可以判断啦~\(≧▽≦)/~
用Dirichlet判别法，sinnx的部分和序列有界，而数列{1/n}单调递减趋于零。
不是收敛的，因为sinnx是有界（和x有关），而不是一致有界（和x无关）
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贾飞嘉欣： 根据基本不等式,有:√(a_n)/n<=(a_n)/2+1/[2*(n^2)]. 而题设正项级数∑an收敛;且级数∑1/[2*(n^2)]亦收敛. 从而正项级数∑√an/n也收敛
嘉荫县18049596166： 无穷级数具体怎么得到的,是不是用泰勒级数求 - ？
贾飞嘉欣： 麦克劳林公式是泰勒公式使用的一个情况,即再原点处展开为泰勒式子.无穷级数就是麦克劳林公式化简后的式子.
嘉荫县18049596166： 无穷级数的运算可以这样拆么? - ？
贾飞嘉欣： 这里是不能随便拆的, 至少要保证拆出来的级数收敛, 不然这样算也没意义. 例如∑1/n²是收敛的级数, 但是拆成∑(1+1/n²)+∑(-1)就没意义了. 有时这样用: ∑(an+bn)收敛的一个充分非必要条件是∑an与∑bn都收敛, 以此来证明∑(an+bn)收敛. 而当∑an与∑bn中一个收敛一个发散, 则∑(an+bn)一定发散.
嘉荫县18049596166： 无穷级数的的定理证明 - ？
贾飞嘉欣： 在学习数列极限的时候我们知道,如果{an}的奇数项和偶数项子列都收敛于同一常数A,那么{an}有极限并且极限就是A.这道题就利用这个思路.现在题目告诉你部分和数列{Sn}的偶数项子列是收敛于A的,所以只要证明奇数项子列也收敛于A就可以了.由于S2n-S2n-1=u2n,两边取极限,再利用题目告诉你的un收敛于0可知,{S2n-1}也收敛于A,于是命题得证.
嘉荫县18049596166： 判断级数的收敛性:1!/(1*3)+2!/(1*3*5)+3!/(1*3*5*7)+…… - ？
贾飞嘉欣： 级数通项an=n!/(2n+1)!!,则a(n+1/an=[(n+1)!*(2n+1)]!!/[(2n+3)!!*n!]=(n+1)/(2n+3),n趋于无穷时,lim(n+1)/(2n+3)=1/2
嘉荫县18049596166： 无穷级数∑an是发散的正项级数,Sn是前n项和,lim an/Sn=0(n趋于+∞),证明无穷级数 - ？
贾飞嘉欣： ∵∑an发散,且Sn>an>0 ∴limsupan^(1/n)≥1,而liman/Sn=0 => lim(Sn-S[n-1])/Sn=0 =>limS[n-1]/Sn=1 => limsupSn^(1/n)≤limsupSn/S[n-1]=1 => limsupan^(1/n)≤limsupSn^(1/n)=1 ∴limsupan^(1/n)=1 即级数∑anx^n的收敛半径为1
嘉荫县18049596166： 无穷级数sin1/sin2+sin2/sin3+sin3/sin4...收敛吗? - ？
贾飞嘉欣： sinn(其中n是自然数),在[0,2π]上是正负循环的.sinn/sin(n+1)=1(当n无穷大的时候),并且永远是正值(n为任意自然数).所以,这个无穷级数是发散的,而不是收敛.
嘉荫县18049596166： 高数,级数sinnx为什么发散,x不等于kpi,k=0,1,2,... - ？
贾飞嘉欣：[答案] sinnx(n→∞)极限不存在违反级数收敛必要条件通项an→0(n→∞)
嘉荫县18049596166： “无穷级数的部分和数列Sn有巾喔眉妒 - ？
贾飞嘉欣： 不能判断其收敛性.举例如下:数列{an}为an=(-1)^n,显然an=1或者an=-1.Sn=∑an=∑(-1)^n=(-1)[1-(-1)^n]/2,|Sn|=[1-(-1)^n]/2≤1,说明Sn是有界的,但是显然不是收敛的 但数列{bn}为bn=1/(n^2)收敛
嘉荫县18049596166： 无穷收敛常数项级数的和 - ？
贾飞嘉欣： 无穷多个数a1,a2,a3,...an...依次相加构成的表达式Σ(n从1到∞)an=a1+a2+a3+...+an+... 叫(常数项)无穷级数. Sn=Σ(k从1到n)ak=a1+a2+a3+...+an (n=1,2,…)是Σ(n从1到∞)an的前n项的部分和. 如果部分和数列{Sn}的极限存在,即lim(n→∞)Sn=S,则称级数Σ(n从1到∞)an收敛,否则称发散. 当Σ(n从1到∞)an收敛时,定义Σ(n从1到∞)an=lim(n→∞)Sn=S,即S为收敛常数项级数的和.
