为什么周长相同，圆形面积最大

为什么周长相同的情况下，圆的面积最大~

在周长相等的情况下,越接近圆的图形面积就越大。
圆形>正方形>长方形>三角形
理由：
设一个圆的半径是1,它的周长是6.28,面积是3.14
和它周长相等的正方形的面积是：(6.28÷4)^2=2.4649
和它周长相等的长方形的面积是：6.28÷2=3.14,设这个长方形的长宽分别为a,b
取一些数字(0.1,3.04),(0.5,2.64),(1,2.14),……(2.14,1),(2.64,0.5),(3.04,0.1)
可以发现长方形的长和宽越接近,面积就越大,当长和宽相等时,也就是变成正方形了,所以这个长方形的面积一定小于正方形的面积.

扩展资料
与圆相关的公式：
1、圆面积：S=πr²，S=π(d/2)²。（d为直径，r为半径）。
2、半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。（r为半径）。
3、圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。
4、圆的周长：C=2πr或c=πd。（d为直径，r为半径）。
5、半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。（d为直径，r为半径）。
圆的性质
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

首先证明在边数相等的情况下正多边形的面积最大——比如若两相邻的边不等，容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时，比原面积要大，所以面积最大的是正多边形。然后证明边数约大面积越大，方法是将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形，每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2，于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2，周长一定时，中心到边的距离越长，面积越大。可证，边长越多时中心到边的距离越大，因为中心到边的距离为cot2pi/2n
*
c/2n，分别代入n和n'后相除比较大小即可，当边长趋于无穷时，中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离，这时候面积是最大的。

圆的面积最大。

分析过程如下：

设铁丝的长为4a。

则正方形的边长为a，那么长方形的长为a+m，宽为a-m，

正方形面积：a*a=a²

长方形面积：（a+m）*（a-m）=a²-m²

圆的周长4a，2πr=4a，得到r=4a/（2π）。则圆的面积为π×16a²/（4π²）=4a²/π。

4a²/π＞a²＞a²-m²。所以周长都为4a的图形，圆的面积最大。

扩展资料：

圆的性质：

1、有关圆周角和圆心角的性质和定理

（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

（2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

（3）直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

（4）圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（5）如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

在周长相等的情况下,越接近圆的图形面积就越大:

圆形>正方形>长方形>三角形

理由：

设一个圆的半径是1,它的周长是6.28,面积是3.14

和它周长相等的正方形的面积是：(6.28÷4)^2=2.4649

和它周长相等的长方形的面积是：6.28÷2=3.14,设这个长方形的长宽分别为a,b

取一些数字(0.1,3.04),(0.5,2.64),(1,2.14),……(2.14,1),(2.64,0.5),(3.04,0.1)

可以发现长方形的长和宽越接近,面积就越大,当长和宽相等时,也就是变成正方形了,所以这个长方形的面积一定小于正方形的面积.

扩展资料

与圆相关的公式：

1、圆面积：S=πr²，S=π(d/2)²。（d为直径，r为半径）。

2、半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。（r为半径）。

3、圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

4、圆的周长：C=2πr或c=πd。（d为直径，r为半径）。

5、半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。（d为直径，r为半径）。

圆的性质

⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

设T是满足给定周长的面积最大的平面封闭图形。

第一步：先证明T一定是一个凸图形(比如凸多边形、圆、椭圆等)，即T的任意两点所决定的线段上的点仍然是T内的点。

比较简单的思路是反证法。如上图所示，如果T是凹图形，那么一定可以至少找到一条线段AB和AB之间的T上的曲线X，满足AB端点之外的点都在T之外。如果我们以AB为镜面做X的对称镜像，可以得到曲线Y，可以证明经过Y的图形T"与T的周长相等但面积更大，与假设矛盾。故T只能是凸图形。

第二步：证明一定存在一条直线将凸图形的周长和面积同时平分。

同样用反证法。假设一弦AB平分T的周长而将T分为大小不同的两部分P和Q，其中P大于Q。那么去掉Q而将P沿AB做镜像对称，则可得到一个周长不变但面积等于2P的新图形T"，T"的面积2P比原来的T的面积P+Q要大，与假设矛盾，故假设不成立。

要证明第三步的命题，等价于证明P上任意一点C到AB组成的三角形是直角三角形，即AC垂直于BC（P是半圆的充要条件）

同样用反证法。假设C为P上任意一点，那么半图形P被AC和BC分割为三块：三角形ABC，M和N。三角形ABC可以有三种情况，即角ACB分别为锐角、直角和钝角。

假设C为锐角或钝角，那么在保持M和N面积不变时，可以移动M和N（AB的弦长会改变）得到一个让角A"CB"为直角的新图形P"，因为M与N没有变，所以只需要计算并比较三角形ACB和三角形A"CB"的面积就可以了。

在角ACB为锐角或钝角时，三角形ACB的面积为AC*BD/2，其中BD为三角形的高，且BD小于BC。而三角形A"CB"的面积为A"C*B"C/2=AC*BC/2。

因为BD小于BC，显然三角形ACB的面积比三角形A"CB"小。那么在周长不变的情况下，P的面积比P"小，与原假设矛盾。故对P上任意点C，角ACB恒为直角，P为半圆，T为圆。

在周长相等的情况下,越接近圆的图形面积就越大。

圆形>正方形>长方形>三角形

理由：

设一个圆的半径是1,它的周长是6.28,面积是3.14

和它周长相等的正方形的面积是：(6.28÷4)^2=2.4649

和它周长相等的长方形的面积是：6.28÷2=3.14,设这个长方形的长宽分别为a,b

取一些数字(0.1,3.04),(0.5,2.64),(1,2.14),……(2.14,1),(2.64,0.5),(3.04,0.1)

可以发现长方形的长和宽越接近,面积就越大,当长和宽相等时,也就是变成正方形了,所以这个长方形的面积一定小于正方形的面积.

扩展资料

与圆相关的公式：

1、圆面积：S=πr²，S=π(d/2)²。（d为直径，r为半径）。

2、半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。（r为半径）。

3、圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

4、圆的周长：C=2πr或c=πd。（d为直径，r为半径）。

5、半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。（d为直径，r为半径）。

圆的性质

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

先比较正方形和圆形：设周长为C，正方形边长为a，圆半径为r
①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²，则正方形面积S1=（C/4）²=C²/16=0.0625C²
②根据圆周长公式C=2πr，则圆半径r=C/2π
根据圆面积公式S2=πr²，则圆面积为S2=π×（C/2π）²=C²/4π≈0.08C²
因为0.08C²＞0.0625C²
所以S2＞S1
即周长相等的圆和正方形，圆的面积大于正方形的面积。
（2）再比较正方形和长方形：设周长为C，正方形边长为a，长方形长为b、宽为c。
①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²，则正方形面积S1=（C/4）²=C²/16
②根据长方形周长公式C=（b+c）×2，则b+c=C/2
根据长方形面积公式得S3=bc
因为a=C/4，所以a=C/2×1/2=（b+c）×1/2=（b+c）/2
则S1-S3
=a²-bc
=（b+c）²/4-bc
=（b+c）²/4-4bc/4
=【（b+c）²-4bc】/4
=（b²+2bc+c²-4bc）/4
=（b²-2bc+c²）/4
=（b-c）²/4
因为b≠c，所以（b-c）²＞0
则（b-c）²/4＞0
即S1-S3＞0
所以S1＞S3
所以周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大于长方形的面积
（3）根据以上计算可得，S2＞S1＞S3，所以在周长相等的情况下，面积最大的图形为圆形。

---

霍林郭勒市18475546646： 在周长一定的情况下,为什么圆面积最大? - ？
闵杰清火： 因为周长相等的图形中,每个图形所含单位方的数量并不等,所以单位方越多、面积就越大;单位方越少、面积就越小.圆比正方形单位方的数量多、正方形比长方形单位方的数量多.为此圆面积大于正方形面积,正方形面积大于长方形面积.圆面积大.

霍林郭勒市18475546646： 为什么周长相等的几何图形圆的面积最大? - ？
闵杰清火：[答案] 你可以这么理解,假设这个周长的每个点都是有生命的,都想让面积尽量的大. 于是每个点都拼命向外走. 到最后就变成了一个圆. 解法如下: 在边数相等的情况下正多边形的面积最大--比如若两相邻的边不等,容易证明在保持长度和不变的情况下一...

霍林郭勒市18475546646： 为什么周长相同,圆形面积最大 - ？
闵杰清火： 圆的面积最大. 分析过程如下: 设铁丝的长为4a. 则正方形的边长为a,那么长方形的长为a+m,宽为a-m, 正方形面积:a*a=a² 长方形面积:(a+m)*(a-m)=a²-m² 圆的周长4a,2πr=4a,得到r=4a/(2π).则圆的面积为π*16a²/(4π²)=4...

霍林郭勒市18475546646： 为什么周长相等的几何图形圆的面积最大? - ？
闵杰清火： 你可以这么理解,假设这个周长的每个点都是有生命的,都想让面积尽量的大. 于是每个点都拼命向外走. 到最后就变成了一个圆. 解法如下: 在边数相等的情况下正多边形的面积最大--比如若两相邻的边不等,容易证明在保持长度和不变的...

霍林郭勒市18475546646： 为什么周长相等的情况下圆的面积最大? - ？
闵杰清火：[答案] 首先证明在边数相等的情况下正多边形的面积最大——比如若两相邻的边不等,容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时,比原面积要大,所以面积最大的是正多边形.然后证明边数约大面积越大,方法是将正多边...

霍林郭勒市18475546646： 为什么同周长的形状中圆面积最大 - ？
闵杰清火： 楼主你的实例结论不成立.实际上按照你说的方法,因为质量和厚度不变,所以你捏的东西面积是不变的,所以如果你把正方形捏成圆形,那么它的面积是不变的,周长反而会发生变化.换种说法吧,按照你的想法,想要把一正方形捏成同一周长的圆形是不行的,因为圆形的面积大,厚度和质量都不变,可知捏圆形所需的橡皮泥根本就不够用,你只能捏个小的圆形.这个圆形与正方形的面积不变,周长又比正方形要小些,这不证明了结论了.类似地,在表面积一定的情况下,球体的体积最大.千万别钻死胡同啊!

霍林郭勒市18475546646： 为什么周长相等,圆的面积最大 - ？
闵杰清火：[答案] 在周长相等的情况下,越接近圆的图形面积就越大:圆形>正方形>长方形>三角形理由:设一个圆的半径是1,它的周长是6.28,面积是3.14 和它周长相等的正方形的面积是:(6.28÷4)^2=2.4649 和它周长相等的长方形的面积是:6....

霍林郭勒市18475546646： 为什么周长相同的图形里圆形面积最大?？
闵杰清火： 是对的.因为圆的面积公式为S=(3.14)r^2,而其他的只能无限接近这个数,而不能相等. 因此周长相同的图形里圆形面积最大

霍林郭勒市18475546646： 为什么说周长一样越接近圆的面积越大? - ？
闵杰清火： 周长相等:圆的面积最大 举例:如三角形、正方形、圆在周长均为12 1.三角形(拿等边三角形为例):3X=12,则边长为4,高为2倍根号3,面积为4倍根号3 2.正方形:边长为3,面积为9 3.圆:2∏R=12,则R=∏分之6,则面积为=∏分之36 ...

霍林郭勒市18475546646： 为什么在周长相等的情况下圆的面积最大? - ？
闵杰清火：[答案] 想想圆的面积是怎么求的? 把一个圆细分成n等分,排成一个矩形嘛,圆的面积相当于一半的周长乘以半径了!这个矩形的周长就相当于比(与圆等周长的矩形)周长就要长出2个半径了!