垂径定理推论证明方法
垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
在5个条件中:
1.平分弦所对的一条弧
2.平分弦所对的另一条弧
3.平分弦
4.垂直于弦
5.经过圆心(或者说直径)
只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论
垂径定理及其推论:
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
注意:(1)垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据.在圆中解有关弦的问题时,经常做垂直于弦的直径作为辅助线.
(2)垂径定理可改写为:如果一条直线垂直于一条弦,并且过圆心,那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧.其中有四个条件:直线垂于于弦,直线平分弦,直线过圆心,直线平分弦所对的弧.它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立,那么另外两个也成立”.这样理解与记忆垂径定理,理解深刻,记忆准确,有利于应用.
定义:如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧。
推论一:平分弦(不是直径),的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
编辑本段证明
如图
,在⊙o中,dc为直径,
ab是弦,ab⊥dc,ab、cd交于e,求证:ae=be,弧ac=弧bc,弧ad=
弧bd
垂径定理证明图
连oa、ob
∵oa、ob是半径
∴oa=ob
∴△oab是等腰三角形
∵ab⊥dc
∴ae=be,∠aoe=∠boe(等腰三角形三线合一)
∴弧ad=弧bd,∠aoc=∠boc
∴弧ac=弧bc
编辑本段讲解
垂径定理又称“5-2-3”定理
其意为:①cd是⊙o直径ab是弦;②cd⊥ab;③ae=be;④弧ad=弧bd;⑤弧ac=弧bc
在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.
以下是推论
编辑本段推论
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
(前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧)
3.平分弦
(不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心
6.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
所以三角形OAC≌三角形OBC
所以∠OCA=∠OCB=90°
所以MN⊥AB
垂径定理及其推论证明
一、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。1、证明:在⊙O中,DC为直径,AB是弦,AB⊥DC,AB、CD交于E,求证:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD。连OA、OB,∵OA、OB是半径,∴OA=OB。∴△OAB是等腰三角形。2、证明:∵AB⊥DC,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(等腰三角...
垂径定理十个推论及证明
并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意:(1)垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据...
垂径定理十个推论及证明?
1. 当一条直径经过圆心时,它必然垂直于弦并平分弦所对的两条弧,这条直径是特殊的垂径。2. 如果一条线段垂直于弦且平分弦,那么它也是直径,自然地平分劣弧和优弧。3. 但是,仅凭“平分弦”这一条件,并不足以得出它一定是直径,垂直于弦以及平分弧的结论。这一点需要特别强调,因为只有当弦不...
垂径定理知二推三10种证明
垂径定理知二推三10种证明如下:理解由圆的轴对称性推出垂径定理,概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧。已知其中两项,可推出其余三项。即“平分弦的直径不能推出垂直于弦,平分两弧。”而应强调附加“平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦...
垂径定理9个推论
推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。推论3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论4:的两条平行弦所夹的弧相等。推论5:如果一条直线垂直于一条弦,并且过圆心,那么...
垂径定理及其推论
两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:在5个条件中:1.平分弦所对的一条弧2.平分弦所对的另一条弧3.平分弦4.垂直于弦5.经过圆心(或者说直径)只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论 ...
垂径定理十个推论及证明过程(知2证3)
理解由圆的轴对称性推出垂径定理,概括理解垂径定理及推论为“知二推三”.(1)过圆心,(2)垂直于弦,(3)平分弦,(4)平分劣弧,(5)平分优弧.已知其中两项,可推出其余三项.注意:当知(1)(3)推(2)(4)(5)时,即“平分弦的直径不能推出垂直于弦,平分两弧.”而应强调附加“平分弦...
垂径定理及其推论
垂径定理及其推论:是圆的基本性质之一,它描述了圆中直径与弦的关系。
垂径定理10种证明方法
利用勾股定理,即a²+b²=c²,推导出垂径定理的结论。三、正弦定理法 通过正弦定理,即a\/sinA=b\/sinB=c\/sinC,得出垂径定理的结论。四、余弦定理法 运用余弦定理,即c²=a²+b²-2ab*cosC,推导得到垂径定理的结论。五、直角坐标系法 在直角坐标系中,根据...
垂径定理及其推论是什么?
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为:过圆心。垂直于弦。直径平分弦知二推三。平分弦所对的优弧。平分弦...
野安克塞:[答案] 垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧...
萍乡市19336829871: 垂径定理十个推论及证明过程(知2证3) - ?
野安克塞:[答案] 理解由圆的轴对称性推出垂径定理,概括理解垂径定理及推论为“知二推三”.(1)过圆心,(2)垂直于弦,(3)平分弦,(4)平分劣弧,(5)平分优弧.已知其中两项,可推出其余三项.注意:当知(1)(3)推(2)(4)(5)时,即“平分弦的直径不能推...
萍乡市19336829871: 垂径定理的几种推理 - ?
野安克塞:[答案] 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同...
萍乡市19336829871: 垂径定理的推论 - ?
野安克塞:[答案] 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
萍乡市19336829871: 垂径定理是怎么证明的?不要照搬概念,我不要内容或推论……我只要垂径定理的证明过程,各位好心的网友,如有知道的,在下万分感激…… - ?
野安克塞:[答案] 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧. 连接圆心和弦的两个端点,△为等腰三角形,且直径⊥弦,所以直径平分弦 因为圆心角平分了 所以弧也平分
萍乡市19336829871: 垂径定理有哪些推论? - ?
野安克塞:[答案] 1、平分弦的直径垂直于这条弦,平分这条弦所对的两段弧. 2、弦的垂直平分线经过圆心,平分这条弦所对的弧. 3、平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,平分这条弦所对的另一条弧.
萍乡市19336829871: 垂径定理是什么! - ?
野安克塞:[答案] 垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧...
萍乡市19336829871: 由垂径定理得到的的9个推论 - ?
野安克塞:[答案] 9个?好像没那么多吧? 你非要硬凑9个与垂径定理有关的结论,那就这样组合,就有9个了 一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 垂直于弦 经过圆心 平分弦 (不是直径) 平分弦所对的优弧 平分弦所对的...
萍乡市19336829871: 垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 ... - ?
野安克塞:[答案] 没错哈. 推论一强调不是直径的弦,是因为如果这条被直径平分的弦也是直径的话,两条线此时不一定垂直哈,也就谈不上“垂径”了.
萍乡市19336829871: 垂径定理的推论在证明题中能直接用吗 - ?
野安克塞: 当然可以,不过需要递加说明