垂径定理推论证明方法

垂径定理及推论证明方法~

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

在5个条件中:

1.平分弦所对的一条弧

2.平分弦所对的另一条弧

3.平分弦

4.垂直于弦

5.经过圆心(或者说直径)

只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论

垂径定理及其推论：
　　定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
　　注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线．
　　（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用．
　定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
　　推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
编辑本段证明
　　如图
，在⊙o中，dc为直径，
ab是弦，ab⊥dc，ab、cd交于e，求证：ae=be，弧ac=弧bc，弧ad=
弧bd
　　
垂径定理证明图
连oa、ob
　　∵oa、ob是半径
　　∴oa=ob
　　∴△oab是等腰三角形
　　∵ab⊥dc
　　∴ae=be，∠aoe=∠boe（等腰三角形三线合一）
　　∴弧ad=弧bd，∠aoc=∠boc
　　∴弧ac=弧bc
编辑本段讲解
　　垂径定理又称“5-2-3”定理
　　其意为：①cd是⊙o直径ab是弦;②cd⊥ab;③ae=be;④弧ad=弧bd;⑤弧ac=弧bc
　　在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.
　　以下是推论
编辑本段推论
　　推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
　　推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
　　推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
　　推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
　　(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
　　但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
　　一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
　　1.平分弦所对的优弧
　　2.平分弦所对的劣弧
　　（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
　　3.平分弦
(不是直径)
　　4.垂直于弦
　　5.经过圆心
　　6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

连接OA、OB，因为OA、OB是半径，所以OA=OB，又因为AC=CB，OC是公共边
所以三角形OAC≌三角形OBC
所以∠OCA=∠OCB=90°
所以MN⊥AB

---

萍乡市19336829871： 垂径定理及推论证明方法 - ？
野安克塞：[答案] 垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧...

萍乡市19336829871： 垂径定理十个推论及证明过程(知2证3) - ？
野安克塞：[答案] 理解由圆的轴对称性推出垂径定理,概括理解垂径定理及推论为“知二推三”.(1)过圆心,(2)垂直于弦,(3)平分弦,(4)平分劣弧,(5)平分优弧.已知其中两项,可推出其余三项.注意:当知(1)(3)推(2)(4)(5)时,即“平分弦的直径不能推...

萍乡市19336829871： 垂径定理的几种推理 - ？
野安克塞：[答案] 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同...

萍乡市19336829871： 垂径定理的推论 - ？
野安克塞：[答案] 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

萍乡市19336829871： 垂径定理是怎么证明的?不要照搬概念,我不要内容或推论……我只要垂径定理的证明过程,各位好心的网友,如有知道的,在下万分感激…… - ？
野安克塞：[答案] 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧. 连接圆心和弦的两个端点,△为等腰三角形,且直径⊥弦,所以直径平分弦 因为圆心角平分了 所以弧也平分

萍乡市19336829871： 垂径定理有哪些推论? - ？
野安克塞：[答案] 1、平分弦的直径垂直于这条弦,平分这条弦所对的两段弧. 2、弦的垂直平分线经过圆心,平分这条弦所对的弧. 3、平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,平分这条弦所对的另一条弧.

萍乡市19336829871： 垂径定理是什么! - ？
野安克塞：[答案] 垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三:平分弦所对的一条弧...

萍乡市19336829871： 由垂径定理得到的的9个推论 - ？
野安克塞：[答案] 9个?好像没那么多吧? 你非要硬凑9个与垂径定理有关的结论,那就这样组合,就有9个了 一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 垂直于弦 经过圆心 平分弦 (不是直径) 平分弦所对的优弧 平分弦所对的...

萍乡市19336829871： 垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 ... - ？
野安克塞：[答案] 没错哈. 推论一强调不是直径的弦,是因为如果这条被直径平分的弦也是直径的话,两条线此时不一定垂直哈,也就谈不上“垂径”了.

萍乡市19336829871： 垂径定理的推论在证明题中能直接用吗 - ？
野安克塞： 当然可以,不过需要递加说明