初中函数求最值模型

初中函数最值的几种解法~

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

一 配方法
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1函数的最小值为（ ）.
A． 2 B . 0 C . D . 6
[分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B.
例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值
[分 析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。



二 引入辅助角法
例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。
[分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。
解：

三 利用三角函数的有界性
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
例4求函数的值域
[分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
解法一：原函数变形为，可直接得到：或
解法一：原函数变形为或
例5（2003年高考题）已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。
[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。
解：
f(x)的最小正周期为，最大值为。

四 引入参数法（换元法）
对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。

例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。
[分析]解：令sinx+cosx=t，则，其中
当

五利用基本不等式法
利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。
例7 求函数的最值。
解：=
当且仅当即时，等号成立，故。

六利用函数在区间内的单调性
例8已知，求函数的最小值。
[分析] 此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。

七数形结合
由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。
例9 求函数的最小值。
[分析] 法一：将表达式改写成y可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。
设过点A的切线与半圆相切与点B,则
可求得
所以y的最小值为（此时）.
法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。

八判别式法
例10求函数的最值。
[分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。
解：
时此时一元二次方程总有实数解

由y=3，tanx=-1，
由

九 分类讨论法
含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。
例 11设，用a表示f(x)的最大值M(a).
解：令sinx=t,则

（1） 当，即在[0，1]上递增，
（2） 当即时，在[0，1]上先增后减，
（3） 当即在[0，1]上递减，

以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。

二次函数：y= ax^2+bx+c
若a>0，y就是开口向上的函数，当x = -b/2a时有最小值
若a<0，y就是开口向下的函数，当x = -b/2a时有最大值

如果有定义域的限制，那就要看 x = -b/2a是否在定义域[x1,x2]范围内，如果不在范围内，
在x1或x2有最大值或最小值

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：
一 配方法
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1函数的最小值为（ ）.
A． 2 B . 0 C . D . 6
[分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B.
例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值
[分 析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
二 引入辅助角法
例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。
[分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。
解：
三 利用三角函数的有界性
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
例4求函数的值域
[分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
解法一：原函数变形为，可直接得到：或
解法一：原函数变形为或
例5（2003年高考题）已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。
[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。
解：
f(x)的最小正周期为，最大值为。
四 引入参数法（换元法）
对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。
例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。
[分析]解：令sinx+cosx=t，则，其中
当
五利用基本不等式法
利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。
例7 求函数的最值。
解：=
当且仅当即时，等号成立，故。
六利用函数在区间内的单调性
例8已知，求函数的最小值。
[分析] 此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。
七数形结合
由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。
例9 求函数的最小值。
[分析] 法一：将表达式改写成y可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。
设过点A的切线与半圆相切与点B,则
可求得
所以y的最小值为（此时）.
法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。
八判别式法
例10求函数的最值。
[分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。
解：
时此时一元二次方程总有实数解
由y=3，tanx=-1，
由
九 分类讨论法
含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。
例 11设，用a表示f(x)的最大值M(a).
解：令sinx=t,则
（1） 当，即在[0，1]上递增，
（2） 当即时，在[0，1]上先增后减，
（3） 当即在[0，1]上递减，
以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。

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梅里斯达斡尔族区17526893430： 怎样求初中二次函数的最值 - ？
巨潘筋络：[答案] 二次函数:y=ax^2+bx+c (a.b.c是常数.且a不等于0) a>0开口向上 a<0开口向下 a.b同号.对称轴在y轴左侧.反之.再y轴右侧 |x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a| 与y轴交点为(0.c) b^2-4ac>0.ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac<0.ax^2+bx+c=0无实根 b^...

梅里斯达斡尔族区17526893430： 初中怎样求二次函数求最值问题 - ？
巨潘筋络：[答案] y=ax²+bx+c 当a>0时 开口向上 顶点最低 有最小值 最小值就是顶点的纵坐标 即 当x=-b/2a 时 有最小值 y=(4ac-b² ) /4a 当a

梅里斯达斡尔族区17526893430： 初中函数最值的几种解法 - ？
巨潘筋络：[答案] 三角函数是重要的数学运算工具,三角函数最值问题是三角函数中的基本内容,也是高中数学中经常涉及的问题.这部分内容是一个难点,它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决这一类问题的基本途径,同求解其他函...

梅里斯达斡尔族区17526893430： 怎样求初中二次函数的最值 - ？
巨潘筋络： 二次函数:y=ax^2+bx+c (a.b.c是常数.且a不等于0) a>0开口向上 a0.ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac0)个单位.解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a.向右就是减 函数向上移动d(d>0)个单位.解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d.向下就是减 当a>0时.开口向上.抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上).并向上无限延伸,当a0.y有最小值.当x=h时.y最小值=k.若a0.y有最小值.当x=- 时.y最小值= .若a

梅里斯达斡尔族区17526893430： 求二次函数的最值有什么方法? - ？
巨潘筋络： 初中里面的话主要是顶点坐标,就是配方成y=a(x+h)^2+k则最大值或最小值为k,或者利用对称轴和开口方向,结合图像判断函数在x的取值范围内的增减性,再代入求值.高中的话还有一个求导的方法,把刀函数等于0时的x的值代入原函数就是最值,同时也是极值.当然具体还要看题目是怎样的,具体情况具体分析嘛

梅里斯达斡尔族区17526893430： 初中怎样求二次函数求最值问题 - ？
巨潘筋络： 你知道2次函数里的a,b,c吧 就是你图象朝上就是找最小 朝下就是找最大都套用一样公式 x=-b÷2a 和 y=4ac-b²÷4a

梅里斯达斡尔族区17526893430： 初中数学在函数或者几个图形中,有什么方法求最大最小值 - ？
巨潘筋络：[答案] 我是初三学生,咱俩应该有点共同语言, 1.在一次函数和正比例函数中,求最大最小值需要通过x的取值范围来求. 2.在二次函数中,求最大最小值是4a分之4ac-b² 用在题中的话,大多数是: 当x=﹣2a分之b时,y的最大或最小值等=4a分之4ac-b² ...

梅里斯达斡尔族区17526893430： 初中阶段涉及求最值的方法有哪些 - ？
巨潘筋络： 最值与极值的区别就是,极大值可能是最大值,可能不是最大值,与谁比较?-------端点函数值 极小值可能是最小值,也可能不是最小值,与谁比较?------端点函数值 所以,知识点要掌握两个问题:1、所在区间?区间端点处的函数值; 2、如何求极值? 方法有二:图形法、函数法,图形法比较简单易懂,建议你多熟悉各种函数的图形绘制方法 1、 对于抛物线 f(x)=ax²+bx+c 端点函数值为f(t1)=at1²+bt1+c f(t2)=at2²+bt2+c 绘制出抛物线的图形,根据其开口方向,即可判断函数有最大值还是最小值 a>0时,图形开口向下,图形有最大值,最大值点为顶点,最小值点在区间端点处取得 a

梅里斯达斡尔族区17526893430： 求函数最值的方法有哪些???? - ？
巨潘筋络： 你高中还是初中,求函数最值说白了就是求y的取值范围,一般来说x都有范围的,这样最常用的是把那个式子转变成你知道的函数,如一次函数,二次函数,根据函数的图像看x的取值范围来求

梅里斯达斡尔族区17526893430： 初中求最值,要过程 - ？
巨潘筋络： 1.分析开口方向:该二次二次函数的二次元系数大于零,故开口向上,只有最小值,在”对称轴“处取得最小值 对称轴 : x=-b/2a=2/2=1 将x=1代入二次函数中 得:最小值y=1-2-2=-32.分析开口方向:该二次二次函数的二次元系数小于零,故开口向下,只有最大值,在”对称轴“处取得最大值 对称轴 : x=-b/2a=1/4 将x=1/4代入二次函数中 得:最大值y=1/4-2*(1/4)^2=1/8=0.125