三角函数中最值问题

~ 三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角,代数,几何之间的联系,培养学生的思维能力.
本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.
一,利用三角函数的有界性
利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值.
[例1]a,b是不相等的正数.
求y=的最大值和最小值.
解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).
y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x
=a+b+
∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1
∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值;
当sinx=0时,即x=
(k∈Z)时,y有最小值+.
二,利用三角函数的增减性
如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β).
[例2]在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值.
解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有
y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1
=2
(cos2xcos-sin2xsin)-1
=2cos(2x+)-1
∵0≤x≤,≤2x+≤
cos(2x+)在[0,)上是减函数
故当x=0时有最大值
当x=时有最小值-1
cos(2x+)在[,]上是增函数
故当x=时,有最小值-1
当x=时,有最大值-
综上所述,当x=0时,ymax=1
当x=时,ymin=-2-1
三,换元法
利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.
[例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值.
解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x
=1+2sinxcosx-sin2xcos2x
令t=sin2x
∴-≤t≤
①
f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2
②
在①的范围内求②的最值
当t=,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=
当t=-,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)min=-
附:求三角函数最值时应注意的问题
三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考,高考必考内容,在求解中欲达到准确,迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:
一,注意sinx,cosx自身的范围
[例1]求函数y=cos2x-3sinx的最大值.
解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+
∵-1≤sinx≤1,
∴当sinx=-1时,ymax=3
说明:解此题易忽视sinx∈[-1,1]这一范围,认为sinx=-时,y有最大值,造成误解.
二,注意条件中角的范围
[例2]已知|x|≤,求函数y=cos2x+sinx的最小值.
解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+
∵-≤x≤
∴-≤sinx≤
∴当sinx=-时
ymin=-(--)2+=
说明:解此题注意了条件|x|≤,使本题正确求解,否则认为sinx=-1时y有最小值,产生误解.
三,注意题中字母(参数)的讨论
[例3]求函数y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值.
解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-
∴当0≤a≤2时,cosx=,ymax=+a-
当a>2时,cosx=1,ymax=a-
当a<0时,cosx=0,ymax=a-
说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx=时,y有最大值会产生误解.
四,注意代换后参数的等价性
[例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值.
解:设t=sinθ-cosθ=sin(θ-)
∴2sinθcosθ=1-t2
∴y=-t2+t+1=-(t-)2+
又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π
∴-≤θ-≤
∴-1≤t≤
当t=时,ymax=
当t=-1时,ymin=-1
说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=时有最大值而无最小值的结论.
1.y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.
例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的(
D
)
A,最大值是1,最小值是-1
B,最大值是1,最小值是-
C,最大值是2,最小值是-2
D,最大值是2,最小值是-1
分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可.
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数
特点是含有sinx,
cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解.
例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+sin(2x+)
当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π,
k∈Z}.
3.y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx,
cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.
例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M.
解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,
令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a,
(-1≤t≤1)
(1)
若-a1时,
在t=-1时,取最大值M=a.
(2)
若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a.
(3)
若-a>1,即a0,
y2=4cos4sin2
=2·cos2·cos2·2sin2
所以0
注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题.
6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式.
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx
进行转化,变成二次函数的问题.
例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解:令sinx+cosx=t
(-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-,
根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+.
相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识.

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