(6)求由曲线 y=x^3 与直线y=-x+2,x=0围成的平面图形面积023

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😳 :求由曲线 y=x^3 与直线y=-x+2,x=0围成的平面图形面积

👉定积分

• 定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
  

• 这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
  

• 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
  

👉定积分的例子

• 『例子一』  ∫(0->1) dx =[x]|(0->1) =1
  

• 『例子二』  ∫(0->1) cosx dx =[sinx]|(0->1) =sin1
  

• 『例子三』  ∫(0->1) xdx =(1/2)[x^2]|(0->1) =1/2
  

👉回答

• 利用定积分计算面积
  

y=x^3 与直线y=-x+2

-x+2=x^3

x=1

由曲线 y=x^3 与直线y=-x+2,x=0围成的平面图形面积

=∫(0->1) [ (-x+2) - x^3 ] dx

=[ 2x - (1/2)x^2 - (1/4)x^4]|(0->1)

=2-1/2 -1/4

=7/4

• 得出结果
  

由曲线 y=x^3 与直线y=-x+2,x=0围成的平面图形面积 = 7/4

😄:  由曲线 y=x^3 与直线y=-x+2,x=0围成的平面图形面积 = 7/4

联立解 y=x^3 与 y=-x+2 得交点 (1, 1).
S = ∫<0, 1>(2-x-x^3)dx = [3x - x^2/2 - x^4/4]<0, 1> = 9/4

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梁平县17281066758： 求由曲线y=x^3与直线x=2,y=0所围平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积. - ？
壤疯盐酸： 旋转体的体积= 64π/5. 联立方程组 x=2 y=x^3 解得两曲线的交点(2,8) 所围成的平面图形绕y轴旋转的旋转体体积为 V = ∫(0,8) π[2^2 - [(³√y)^2] dy = π{4y - 3[y^(5/3)]/5}|(0,8) = 64π/5 性质 ①对应点到旋转中心的距离相等. ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. ③旋转前、后的图形全等,即旋转前后图形的大小和形状没有改变. ④旋转中心是唯一不动的点. ⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度.

梁平县17281066758： 求由曲线y=x^3和直线y=2x所围成的平面图形的面积及绕x轴旋转体体积 - ？
壤疯盐酸：[答案] 平面图形的面积=2∫(2x-x³)dx =2(x²-x^4/4)│ =2(2-1) =2; 旋转体体积=2∫π[(2x)²-(x³)²]dx =2π∫(4x²-x^6)dx =2π(4x³/3-x^7/7)│ =2π(8√2/3-8√2/7) =64√2π/21.

梁平县17281066758： 求由曲线y=x^3与直线x=2,y=0所围成的图形绕x轴旋转产生的立体的体积 - ？
壤疯盐酸：[答案] 体积=π∫(0,2)(x³)²dx =π∫(0,2)x^6dx =π/7 x^7|(0,2) =128π/7

梁平县17281066758： 求曲线y=x^3与直线y=2x所围成的面积 - ？
壤疯盐酸： 先求两者的交点:(0,0)(根号2,2*根号2)(-根号2,-2*根号2) 经画图可知,所围面积可分为关于原点对称的相等的两部分,只需求第一象限的面积再乘以2 令f(x)=2x-x^3,求f(x)在(0,根号2)上的积分即为第一象限的面积 f(x)的积分函数为F(x)=x^2-1/4x^4 s=F(根号2)-F(0)=1 总面积为2

梁平县17281066758： 二重积分问题求由曲线y=x^3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 - ？
壤疯盐酸：[答案]

梁平县17281066758： 求由曲线y=x的3次方及直线y=2x所围成的图形的面积？
壤疯盐酸： y=x^3与y=2x联立 交点为x^2=2,所以交点坐标为(2^1/2,2*2^1/2)和(-2^1/2,-2*2^1/2) 事实上y轴两天的图形是按原点对称的,只需计算x>0的情况,再把答案乘以2便可 积分(2x-x^3)(0到2^1/2)=(x^2-1/4*x^4)(0到2^1/2)=1 所以所求面积为2

梁平县17281066758： 求由曲线y=X^3及直线y= - x,x=1,x=2所围成的平面图形的面积 - ？
壤疯盐酸： S=∫(1--2)(x³+x)dx=1/4x^4+1/2x²|1---2=4+2-(1/4+1/2)=23/4

梁平县17281066758： 求由曲线y=X^3及直线y=2X所围成的图形的面积 - ？
壤疯盐酸： 平面图形的面积=2∫<0,√2>(2x-x³)dx =2(x²-x^4/4)│<0,√2> =2(2-1) =2;

梁平县17281066758： 求由曲线y=x^3和直线y=2x所围成的平面图形的面积及绕x轴旋转体体积 - ？
壤疯盐酸： 解:平面图形的面积=2∫(2x-x³)dx =2(x²-x^4/4)│ =2(2-1) =2; 旋转体体积=2∫π[(2x)²-(x³)²]dx =2π∫(4x²-x^6)dx =2π(4x³/3-x^7/7)│ =2π(8√2/3-8√2/7) =64√2π/21.

梁平县17281066758： 求曲线y=x^3,直线x=2,y=0所围成的图形,绕x轴旋转所得旋转体答案为128/7π - ？
壤疯盐酸：[答案] 回答: V = ∫{0,2}πy²dx = ∫{0,2}πx^6 dx = (128/7)π.