第二次数学危机的详情

第二次数学危机如何解决的~

直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量。
并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

扩展资料：
关于第二次数学危机，自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。著名的数学家欧拉就坚持认为在求导数的运算中,其结果应该是0/0。他举例说，如果计算地球的数值,则一颗灰尘、甚至成千上万颗灰尘的误差都是可以忽略的。
但是在微积分的运算中,“几何的严格性要求连这样小的误差也不能有。”马克思在他的《数学手稿》中说得更明确:求导数的运算的结果应该是严格的、特定的0/0,批判了所谓“无限趋近”的说法。
这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的发展。
就微积分自身而言，经过本次危机的“洗礼”，其自身得到了不断的系统化，完整化，扩展出了不同的分支，成为了18世纪数学世界的“霸主”。同时，第二次数学危机也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。

参考资料来源：百度百科-第二次数学危机

十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。

第二次数学危机

大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。

到了17世纪的后期，出现了一次崭新的数学分支——数学分析，或称微积分。它在数学领域中占据着主导地位，这种新数学的特点是，非常成功地运用了无限过程的运算，即极限运算，而其中的微分和积分这两个过程则构成了微分学和积分学的核心，并奠定了全部分析学的基础。

微积分诞生之后，数学迎来了一次空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。它们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。人们用微分学的理论发现了哈蕾彗星，用积分学的理论可以计算任意平面图形的面积，只要知道包围这个图形的曲线方程。在数学本身它们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。

尽管当时的数学家们知道他们的微积分的概念是不清楚的，证明也是不充分的，但是由于许多结果为经验和观测所证实，使得他们自信他们在缺乏逻辑指出的基础上得出的的微积分的结论是正确的。

于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论。微积分薄弱的基础遭到了许多数学家和非数学家们的争论和批评。即使是两位微积分的创立者牛顿和莱布尼兹本人也对此学科的基本概念也不满意。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。

当时著名的唯心主义哲学家贝克莱主教（Bishop George Berkeley，1685～1753）对牛顿的导数定义进行了批判。现在我们知道导数的定义是这样的：函数 对 的导数定义为极限

而当时牛顿的导数定义（他当时称为流数）是这样的：

当 增长为 时，幂 成为 或 , 与 的增量分别为 和 ，这两个增量与 的增量 的比分别为1与 ，然后让增量消失，则它们的最后比将为1与 ，从而 对 的变化率为 。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设 是不为0 的，而在论证的后一部分又被取为0 。那么到底 是不是0呢？这就是著名的《贝克莱悖论》。

不仅当时导数的定义中出现了悖论，在无穷级数的理论中也出现了许多悖论。如级数

那么 如果我们把级数以一种方法分组，我们有

如果按另一种方法分组，我们有

L.G.格兰迪（Grandi，1671－1742）说，因为0和1是等可能的，所以级数的和应为平均数1/2。

这样的悖论日益增多，数学家们在研究无穷级数的时候，作出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。

因此在18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础之上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。事实上，可以说微积分在基础方面的状况比17世纪更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础，因为它们是权威，所以它们的错误就被其它的数学家不加批评地接受了，甚至作了进一步的发展。

进入19世纪，数学陷入了更加矛盾的境地。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成就远远超出人们的预料，但是大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。历史要求给微积分以严格的基础。

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。拉格朗日为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，曾试图把整个微积分建立在泰勒展式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数的范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺，他开始将严格的论证引入到数学分析中。1816年，他在二项展开公式的证明中，明确提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。

分析学的奠基人，公认是法国的多产的数学家柯西，柯西在数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。柯西在1821～1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作，在那里，他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。接着，魏尔斯特拉斯引进了精确的“ ”的极限定义。这样，微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。今天我们微积分课本中使用的定义，基本上就是柯西的，不过现在写得更加严格一点。

---

迁西县13319618958： 第二次数学危机是什么? - ？
营榕丁苯：[答案] 十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论,被称为第二次数学危机.从历史或逻辑的观点来看,它的发生也带有必然性.微积分产生初期,由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论),出现了这样那样的问题,被一些别有用心的人钻了...

迁西县13319618958： 简要概括第二次数学危机()30字以内 - ？
营榕丁苯：[答案] 十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论,被称为第二次数学危机.

迁西县13319618958： 历史上的第一次和第二次数学危机是什么? ？
营榕丁苯： 第一次数学危机从某种意义上来讲,现代意义下的数学(也就是作为演绎系统的纯粹数学)来源于古希腊的毕达哥拉斯学派.这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,它...

迁西县13319618958： 数学经历过几次危机,分别是什么~ - ？
营榕丁苯：[答案] 数学史上的三次危机 无 理 数 的 发 现 —— 第 一 次 数 学 危 机 大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论.当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为＂四艺＂,在其中追求宇宙的和...

迁西县13319618958： 数学历史上发生过几次危机?各哪几次?详介! - ？
营榕丁苯：[答案] 第一次是根号2的无理数危机第二次是积分的第二次数学危机 首先这个x应该等於0,这是因为 x=(1-1)+(1-1)+…… =0; 其次,可以证明x等於1,因为 x=1-(1-1)-(1-1)……=1; 最后,...

迁西县13319618958： 简述数学史上的三次数学危机及其对数学发展的影响 - ？
营榕丁苯：[答案] 数学悖论与三次数学危机 陈基耿 摘要:数学发展从来不是完全直线式的,而是常常出现悖论.历史上一连串的 数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰,数学史上曾经发生了三次数学危机.数学悖论的产生和危机的出现,不单给数学带来麻烦和失望,...

迁西县13319618958： 数学历史上的三次危机是什么? - ？
营榕丁苯： 第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派.这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定,知识保密,所有发明创造都归于学派领袖.当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数...

迁西县13319618958： 数学史上三次革命是什么 ？
营榕丁苯： 三次数学危机第一次数学危机古希腊的毕达哥拉斯学派.他们认为“万物皆数”,认为数学的知识是可靠的、准确的,而且可以应用于现实的世界.数学的知识是由于纯粹...

迁西县13319618958： 第二次数学危机如何解决的 - ？
营榕丁苯： 第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机.其实我翻了一下有关数学史的资料,微积分的雏形早在古希腊时期就形成了,阿基米德的逼近法实际上已经...

迁西县13319618958： 历史上的有几次数学危机,分别是什么? - ？
营榕丁苯： 数学史上的三次数学危机分别发生在公元前5世纪、17世纪、19世纪末,都是发生在西方文化大发展时期.因此,数学危机的发生,都有其一定的文化背景. 这三次数学危机分别是: 第一次:古希腊时代,由于不可公度的线段――无理数的发现与一些直觉的经验想抵触而引发的; 第二次:是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后,对无穷小量的理解未及深透引起的; 第三次:是当罗素发现了集合论中的悖论,危及整个数学的基础而引起的. 三次数学危机尽管当时对数学和哲学都造成了巨大的影响,给当时某个时期造成了某种困境,然而由于一直未妨碍数学的发展与应用.反而在困境过后去,给数学的发展带来了新的生机