第二次数学危机是什么??
第一次数学危机,是数学史上的一次重要事件,发生于大约公元前400年左右的古希腊时期,自根号二的发现起,到公元前370年左右,以无理数的定义出现为结束标志。
第二次数学危机,指发生在十七、十八世纪,围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论,这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统,同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题,并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
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第三次数学危机来源
经过第一、二次数学危机,人们把数学基础理论的无矛盾性,归结为集合论的无矛盾性,集合论已成为整个现代数学的逻辑基础,数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的,数学的严格性的目标快要达到了。
法国著名数学家庞加莱(1854—1912)于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道:“现在可以说,(数学)绝对的严密性是已经达到了”。
然而,事隔不到两年,英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素(1872—1970)即宣布了一条惊人的消息:集合论是自相矛盾的,并不存在什么绝对的严密性!史称“罗素悖论”。
1918年,罗素把这个悖论通俗化,称为“理发师悖论”。罗素悖论的发现,无异于晴天劈雳,把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论,深入到集合论的理论基础之中,从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波,形成了数学史上的第三次危机。
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第二次数学危机没有真正解决。
第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料,微积分的雏形早在古希腊时期就形成了,阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素,直到2100年后,牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中,第一步用了无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零,去掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.焦点是:无穷小量是零还是非零?如果是零,怎么能用它做除数?如果不是零,又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?直到19世纪,柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了 极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决。
而我自己的理解是一个无穷小量,是不是零要看它是运动的还是静止的,如果是静止的,我们当然认为它可以看为零;如果是运动的,比如说1/n,我们说 ,但n个1/n相乘就为1,这就不是无穷小量了,当我们遇到 等情况时,我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限,也可以用Taylor展式展开后,一阶一阶的比,我们总会在有限阶比出大小。
第二次数学危机
第二次数学危机
早在古代,人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西,并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外,并没有无理数的概念,连有理数的运算也没有,可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣,尤其是芝诺提出的四个著名的悖论:
第一个悖论是说运动不存在,理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路,而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去,它必须通过无限多个点,这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时,他必须首先到达乌龟的起点,然后用第一个悖论的逻辑,乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”,因为在某一时问间隔,飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上,因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论,内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。
希腊人虽然没有明确的极限概念,但他们在处理面积体积的问题时,却有严格的逼近步骤,这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法,证明了许多重要而难证的定理。
到了十六、十七世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力,终于在十七世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科,这也就是数学分析的开端。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于:1,把各种问题的解法统一成一种方法,微分法和积分法;2,有明确的计算微分法的步骤;3.微分法和积分法互为逆运算。
由于运算的完整性和应用范围的广泛性,使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例,瞬时速度是δs/δt当δt趋向于零时的值。δt是零、是很小的量,还是什么东西,这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论,从而引发了第二次数学危机。
十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题,因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说,现在是“把房子盖得更高些,而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。
但也因此,微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击,其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。
十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算,而不管基础的可靠与否,其中特别是:没有清楚的无穷小概念,因此导数、微分、积分等概念不清楚;对无穷大的概念也不清楚;发散级数求和的任意性;符号使用的不严格性;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。
一直到十九世纪二十年代,一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始,最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在,而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始,认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,并定义了导数和积分;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;狄里克莱给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上,维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义,并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上,从而克服了危机和矛盾。
十九世纪七十年代初,威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
同时,威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子,充分说明了直观及几何的思考不可靠,而必须诉诸严格的概念及推理。由此,第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生,并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题,而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。
第二次数学危机指的是什么?()
正确答案:D
什么是数学发展史上的三次危机
1、一次数学危机:公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致了当时认识上的"危机",从而产生了一次数学危机。2、第二次数学危机:18世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部分数学家对这一理论的可靠是毫不...
第二次数学危机指的是什么
第二次数学危机指的是:指发生在十七、十八世纪,围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论。1、这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统,同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题,并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。2、危机背景:芝诺悖论:芝诺注意...
人类数学史上三次危机是什么(芝诺悖论)
第一次危机:无理数的诞生 古代人们对直角三角形的研究引发了第一次数学危机。当他们尝试计算等腰直角三角形的斜边时,发现了根号2这个无理数。这个数的出现颠覆了古人对简洁自然的认知,因为它不是任何有理数的比值。这种新的数学概念使人们感到困惑和不安,因为它挑战了他们既有的认知框架。第二次危机...
第二次数学危机的解决第二次数学危机是什么
1、第二次数学危机 第二次数学危机早在古代,人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。2、古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西,并完全依据几何来严格处理连续量。3、这造成数与量的长期脱离。4、古希腊的数学中除了整数之外,并没有无理数的概念,连有理数的运算也没有,可是却...
历史上的第一次和第二次数学危机是什么?
第一次数学危机,是数学史上的一次重要事件,发生于大约公元前400年左右的古希腊时期,自根号二的发现起,到公元前370年左右,以无理数的定义出现为结束标志。第二次数学危机,指发生在十七、十八世纪,围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论,这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论...
三次数学危机分别是什么
2. 第二次数学危机:贝克莱悖论 在十七世纪后期,牛顿和莱布尼兹创立了微积分,在实践中取得了巨大成功。然而,微积分学的诞生并非一帆风顺。它主要基于无穷小分析,而无穷小后来被证明是包含逻辑矛盾的。因此,微积分从诞生起就遭到了一些人的反对和攻击。其中,英国大主教贝克莱对微积分的攻击最为猛烈。...
第二次数学危机是什么??
十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料,微积分的雏形早在古希腊时期就形成了,阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素,直到2100年后,牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人...
第二次数学危机是什么?
被称为第二次数学危机.从历史或逻辑的观点来看,它的发生也带有必然性.微积分产生初期,由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论),出现了这样那样的问题,被一些别有用心的人钻了空子.事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题.这就是历史上的第二次数学危机.
数学史上的三次危机是什么?
第二次数学危机 自微积分被发明之后,质疑之声就从未消停过。相当长的时间内,数学界对“无穷小”这一概念的理解和使用都是非常混乱的,但微积分理论的基础却恰恰就是“无穷小分析”。这一理论上的缺陷招致了巨大的抨击,英国大主教更是直接称“无穷小”为盘旋的幽灵。如果这一危机无法解除,那无数由...
茹将脑灵: 十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论,被称为第二次数学危机.从历史或逻辑的观点来看,它的发生也带有必然性.微积分产生初期,由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论),出现了这样那样的问题,被一些别有用心的人钻了空子.事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题.这就是历史上的第二次数学危机.
红旗区15727892143: 数学经历过几次危机,分别是什么~ - ?
茹将脑灵:[答案] 数学史上的三次危机 无 理 数 的 发 现 —— 第 一 次 数 学 危 机 大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论.当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四艺",在其中追求宇宙的和...
红旗区15727892143: 简要概括第二次数学危机()30字以内 - ?
茹将脑灵:[答案] 十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论,被称为第二次数学危机.
红旗区15727892143: 数学史上的危机是什么? - ?
茹将脑灵:[答案] 温馨提示 数学的发展史中,并不是那么一帆风顺的,其中历史上曾发生过三大危机,危机的发生促使了数学本生的发展:第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊;第二次数学危机发生在十七世纪.第三次数学危机
红旗区15727892143: 数学历史上的三次危机是什么? - ?
茹将脑灵: 第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派.这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定,知识保密,所有发明创造都归于学派领袖.当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数...
红旗区15727892143: 简述数学史上的三次数学危机及其对数学发展的影响 - ?
茹将脑灵:[答案] 数学悖论与三次数学危机 陈基耿 摘要:数学发展从来不是完全直线式的,而是常常出现悖论.历史上一连串的 数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰,数学史上曾经发生了三次数学危机.数学悖论的产生和危机的出现,不单给数学带来麻烦和失望,...
红旗区15727892143: 数学历史上发生过几次危机?各哪几次?详介! - ?
茹将脑灵:[答案] 第一次是根号2的无理数危机第二次是积分的第二次数学危机 首先这个x应该等於0,这是因为 x=(1-1)+(1-1)+…… =0; 其次,可以证明x等於1,因为 x=1-(1-1)-(1-1)……=1; 最后,...
红旗区15727892143: 历史上的第一次和第二次数学危机是什么? ?
茹将脑灵: 第一次数学危机从某种意义上来讲,现代意义下的数学(也就是作为演绎系统的纯粹数学)来源于古希腊的毕达哥拉斯学派.这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,它...