初中数学几何题!在边长为6的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在对角线AC上取点P
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(2012重庆市12分)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.
(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;
(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM,是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.
【答案】解:(1)如图①,设正方形BEFG的边长为x,
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3,BC=6,∴AG=AB﹣BG=3﹣x。
∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC。
∴ ,即 。
解得:x=2,即BE=2。
(2)存在满足条件的t,理由如下:
如图②,过点D作DH⊥BC于H,
则BH=AD=2,DH=AB=3,
由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t,
∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC。
∴ ,即 。∴ME=2﹣ t。
在Rt△B′ME中,B′M2=ME2+B′E2=22+(2﹣ t)2= t2﹣2t+8。
在Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t﹣2)2=t2﹣4t+13。
过点M作MN⊥DH于N,则MN=HE=t,NH=ME=2﹣ t,
∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣ t)= t+1。
在Rt△DMN中,DM2=DN2+MN2=( t+1)2+ t 2= t2+t+1。
(Ⅰ)若∠DB′M=90°,则DM2=B′M2+B′D2,
即 t2+t+1=( t2﹣2t+8)+(t2﹣4t+13),解得:t= 。
(Ⅱ)若∠B′MD=90°,则B′D2=B′M2+DM2,
即t2﹣4t+13=( t2﹣2t+8)+( t2+t+1),解得:t1=﹣3+ ,t2=﹣3﹣ (舍去)。
∴t=﹣3+ 。
(Ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M2=B′D2+DM2,
即 t2﹣2t+8=(t2﹣4t+13)+( t2+t+1),此方程无解。
综上所述,当t= 或﹣3+ 时,△B′DM是直角三角形;
(3) 。
(2012黑龙江绥化8分)如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R.
(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ= (不需证明).
(2)如图2,当点P为线段EC上的任意一点(不 与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
【答案】解:(2)图2中结论PR+PQ= 仍成立。证明如下:
连接BP,过C点作CK⊥BD于点K。
∵四边形ABCD为矩形,∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3,BC=4,∴ 。
∵S△BCD= BC•CD= BD•CK,∴3×4=5CK,∴CK= 。
∵S△BCE= BE•CK,S△BEP= PR•BE,S△BCP= PQ•BC,且S△BCE=S△BEP+S△BCP,
∴ BE•CK= PR•BE+ PQ•BC。
又∵BE=BC,∴ CK= PR+ PQ。∴CK=PR+PQ。
又∵CK= ,∴PR+PQ= 。
(3)图3中的结论是PR-PQ= .
【考点】矩形的性质,三角形的面积,勾股定理。
【分析】(2)连接BP,过C点作CK⊥BD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长,根据三角形面积相等可求出CK的长,最后通过等量代换即可证明。
(3)图3中的结论是PR-PQ=125 。
连接BP,S△BPE-S△BCP=S△BEC,S△BEC 是固定值,BE=BC 为两个底,PR,PQ 分别为高,从而PR-PQ= 。
(2012山东德州12分)如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)如图1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.
又∵∠EPH=∠EBC=90°,
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
(2)△PHD的周长不变为定值8。证明如下:
如图2,过B作BQ⊥PH,垂足为Q。
由(1)知∠APB=∠BPH,
又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP,
∴△ABP≌△QBP(AAS)。∴AP=QP,AB=BQ。
又∵AB=BC,∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,
∴△BCH≌△BQH(HL)。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
(3)如图3,过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕,∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)。
∴EM=AP=x.
∴在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即 。
∴ 。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等,
∴ 。
∵ ,∴当x=2时,S有最小值6。
(2012广西玉林、防城港12分)如图,在平面直角坐标系 O 中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t秒,当t=2秒时PQ= .
(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围;
(2)连接AQ并延长交 轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则△A EF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.
(3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?
【答案】解:(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,
在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC= =4,
∴OC=OP+P C=4+4=8。[来源:Zxxk.Com]
又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4)。
t的取值范围为:0<t<4。
(2)结论:△AEF的面积S不变化。
∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC。
∴ ,即 ,解得CE= 。
由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4-t,则CF=CD+DF=8-t。
S=S梯形AOCF+S△FCE-S△AOE= (OA+CF)•OC+ CF•CE- OA•OE
= [4+(8-t)]×8+ (8-t)• - ×4×(8+ )。
化简得:S=32为定值。
所以△AEF的面积S不变化,S=32。
(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF。
由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF。
∴CP:AD=CQ:DF,即8-2t:8= t:4-t,化简得t2-12t+16=0,
解得:t1=6+2 ,t2= 。
由(1)可知,0<t<4,∴t1=6+2 不符合题意,舍去。
∴当t= 秒时,四边形APQF是梯形。:Z*xx*k.Com]
(2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合,
连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值;
⑵记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
【答案】解:(1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则 。∴ 。
∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。
∴ ,即 。∴y关于x的函数关系式为 。
当y =3时, ,解得:x=2.5。
(2)∵ ,
∴ 为常数。
(3)延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。
∴ ,化简得: ,解得: 。
∵0≤x≤2.5,∴ 。
在Rt△DGP中, 。
(2012四川自贡12分)如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.
(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
【答案】解:(1)证明:如图,连接AC
∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
∠BAE+∠EAC=60°,∠FAC+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°,∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°,AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中,∵∠BAE=∠FAC,AB=AC,∠ABE=∠AFC,
∴△ABE≌△ACF(ASA)。∴BE=CF。
(2)四边形AECF的面积不变,△CEF的面积发生变化。理由如下:
由(1)得△ABE≌△ACF,则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值。
作AH⊥BC于H点,则BH=2,
。
由“垂线段最短”可知:当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF,则此时△CEF的面积就会最大.
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF 。
∴△CEF的面积的最大值是 。
(2012湖南益阳12分)已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.
(1)求证:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中,∵∠ABE=∠BCF,AB=BC,∠BAE=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF(ASA)。
(2)解:∵正方形面积为3,∴AB= 。
在△BGE与△ABE中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,∴△BGE∽△ABE。
∴ 。
又∵BE=1,∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。
∴ 。
(2012广东梅州11分)如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°.
(1)①点B的坐标是 ;②∠CAO= 度;③当点Q与点A重合时,点P的坐标为 ;(直接写出答案)
(2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,使△AMN为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标为m;若不存在,请说明理由.
(3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.
【答案】解:(1)①(6,2)。 ②30。③(3,3)。
(2)存在。m=0或m=3﹣或m=2。
(3)当0≤x≤3时,
如图1,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x;
由题意可知直线l∥BC∥OA,
可得,∴EF=(3+x),
此时重叠部分是梯形,其面积为:
当3<x≤5时,如图2,
当5<x≤9时,如图3,
当x>9时,如图4,
。
综上所述,S与x的函数关系式为:
。
(2012江苏连云港12分)已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,
问题1:如图1,P为AB边上的一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?
问题2:如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
问题3:若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
问题4:如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
【答案】解:问题1:对角线PQ与DC不可能相等。理由如下:
∵四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,
∴∠DPC=90°。
∵AD=1,AB=2,BC=3,∴DC=2。
设PB=x,则AP=2-x,
在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,即x2+32+(2-x)2+12=8,化简得x2-2x+3=0,
∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴方程无解。
∴不存在PB=x,使∠DPC=90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。
问题2:存在。理由如下:
如图2,在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,
则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H。
∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。
∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ。∴∠ADP=∠QCH。
又∵PD=CQ,∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS)。∴AD=HC。
∵AD=1,BC=3,∴BH=4,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4。
问题3:存在。理由如下:
如图3,设PQ与DC相交于点G,
∵PE∥CQ,PD=DE,∴。
∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
同理可证∠ADP=∠QCH,∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。
∵AD=1,∴CH=2。∴BH=BG+CH=3+2=5。
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为5。
问题4:如图3,设PQ与AB相交于点G,
∵PE∥BQ,AE=nPA,∴。
∴G是DC上一定点。
作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K。
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠D=∠QHC,∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°
∠PAG=∠QBG,
∴∠QBH=∠PAD。∴△ADP∽△BHQ,∴,
∵AD=1,∴BH=n+1。∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4。
过点D作DM⊥BC于M,则四边形ABND是矩形。
∴BM=AD=1,DM=AB=2。∴CM=BC-BM=3-1=2=DM。
∴∠DCM=45°。∴∠KCH=45°。
∴CK=CH•cos45°= (n+4),
∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为 (n+4)。
(2012宁夏区10分)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.
(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;
(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式。当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
(3)若PE∥BD,试求出此时BP的长.
【答案】解:(1)∵△APE≌△ADE,∴AP=AD=3。
在Rt△ABP中,AB=2,∴BP=。
(2)∵AP⊥PE,∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴ ,即。∴。
∵
∴当时,y的值最大,最大值是。
(2)设BP=x, 由(2)得。
∵PE∥BD,,∴△CPE∽△CBD。
∴, 即,
化简得。
解得或(不合题意,舍去)。
∴当BP= 时, PE∥BD。
∠OCB=∠OBA=45,而∠FOE=90,则∠FOC=∠EOB,则两个三角形全等。
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=0 ∴α=60或α+β=30 由∠ACB=30+α<90 ∴α<60 故舍去α=60 (也可由∠ACB>∠ABD得 30+α>2α ∴α<30 故舍去α=60)于是α+β=30 后记:此题中用到了一些高中才学的三角函数公式,当然感兴趣的话初中也可以找来看看,呵呵,有度娘,有线索,有心,则什么都不难。
竹何怡诺:[答案] 第二题怪怪的 改完了应该是对的! 也可以这么做: S=5*5*3.14=78.5 78.5*(360-36)/360=78.5*0.9=70.65 加油啊~
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电白县15916905186: 为什么初中数学几何里面图形的边长,比如书上说有一个边长为6的正方形.那么问题来了边长为什么就一个数 - ?
竹何怡诺: 如果没有表明单位的话,那么你做出的结果也不带单位就行了,比如边长为6的正方形周长就是24
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电白县15916905186: 帮我解答一道数学题 问题是:正方形ABCD的边长为6,圆O过BC两点,圆O半径为根号下10,那么AO的长为多少??
竹何怡诺: 连接BC 因为是正方形所以平分对角线所以圆O过AC(圆周角为90度的角在圆上)所以AO为半径所以AO为二分之根号10
电白县15916905186: 如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,2014 - 06 - 14 知******| 初中数学如图,正方形ABCD边长为6,菱形... - ?
竹何怡诺:[答案](1)∵正方形ABCD中,AH=2, ∴DH=4, ∵DG=2, ∴HG=2 5 ,即菱形EFGH的边长为2 5 . 在△AHE和△DGH中, ∵∠A=∠D=90°,AH=DG=2,EH=HG=2 5 , ∴△AHE≌△DGH(HL), ∴∠AHE=∠DGH, ∵∠DGH+∠DHG=90°, ∴∠DHG+∠AHE=90°, ∴...
电白县15916905186: 数学题:一个标志性建筑的底面边长是6米的正方形,在其四周铺上花岗石,形成一个宽为3米的正方形边框,已知铺上边框,恰好用了3x块,边长为0.75米的正方形花岗石,求x是多少?列方程解设详细解答?
竹何怡诺: 〔(9平方-6平方)除以0.75的平方〕除以3 9方-6方是铺的除以0.75方是块数再除以3就是X了
电白县15916905186: 哪位数学高手帮我解几道题`!!!几何题 关于正方形的!?
竹何怡诺: 1.如图一,正方形ABCD的边长为6cm,正方形EFGC的边长为3cm,求阴影部分的面积. S阴=S大正+S小正-S△ABE-S△EFG-S△ADG =6^2+3^2-(6+3)*6/2-3*3/2-6*3/2 =36+9-27-4.5-9 =4.5 3.如图三.在梯形ABCD中,AB//CD,∠C+∠D=90.E F ...
电白县15916905186: 初二数学几何题(正方形)在正方形ABCD中,点P为边AB上的动点,连接PD,过点D作DE垂直于DP,交BC的延长线于点E.(1)连接AC.PE,AC与PE交于... - ?
竹何怡诺:[答案] 过n作qn垂直ad交ad于q aq加qn等于根号二倍an(等腰直角三角形) 证明AB+AP=aq加qn即可 作yn垂直ab交ab于y aynq为正方形 此时证明dq=py即可 需证明nyp与qnd全等 nq=ny,同时有一直角,易得 需证明另一角相等 即证明角npb=角pda 令pe于...