求解f(z)在无穷远点的留数

求f(z)=e^z/(z^2-1)在无穷远点的留数~

首先找
f（z）
奇点
z=±1且都
介极点
穷远点
留数
等于
两点
留数
相反数
z=-1点
留数
根据定理
{(e^z)/(z-1)｜[z=-1]}=(-1/2)e^(-1)
z=1点
留数
（1/2）e
穷远点
留数
-[(-1/2)e^(-1)+（1/2）e]=-sh1
至于
说
规则4
我
清楚
般
说
计算留数
函数展
洛朗级数
找相关
系数
根据求留数
相关定理
求
展
洛朗级数
求留数
理论
推导
实际
我
少用

首先找出f（z）的奇点,为z=±1且都是一介极点那么无穷远点的留数就等于这两点的留数和的相反数,z=-1点的留数,根据定理得到{(e^z)/(z-1)｜[z=-1]}=(-1/2)e^(-1)z=1点的留数为（1/2）e那么无穷远点的留数为-[(-1/2)e^(-1)+（1/2）e]=-sh1至于你说的那个规则4,我就不清楚了,一般来说,计算留数时不是去把函数展成洛朗级数,然后找相关的系数,而是根据求留数的相关定理去求展成洛朗级数去求留数这个只是理论上的推导,实际上我们很少用到

首先,可知e^z-1的零点集合为{ 2kπi | k为整数},且易见这些零点都是1阶的.
而z有唯一的零点z = 0,且显然是1阶零点.
于是,f(z) = 1/(z(e^z-1))的在复平面上极点集合也是{ 2kπi | k为整数},
其中z = 0为2阶极点,其余点均为1阶极点.
由e^x在x = 0处的幂级数展开易知:当x → 0时,有(e^x-1)/x → 1,(e^x-1-x)/x² → 1/2.
于是当z → 2kπi时,设x = z-2kπi可得(e^z-1)/(z-2kπi) = (e^x-1)/x → 1.
进而对k ≠ 0,有(z-2kπi)f(z) = 1/z·(z-2kπi)/(e^z-1) → 1/(2kπi)·1 = 1/(2kπi).
因此f(z)在z = 2kπi (k ≠ 0)处的留数为1/(2kπi).
而当z → 0时,有z²f(z) = z/(e^z-1) → 1,可知z = 0作为f(z)-1/z²的极点阶数小于2.
又z(f(z)-1/z²) = 1/(e^z-1)-1/z = (z-e^z+1)/(z(e^z-1)) = -(e^z-1-z)/z²·z/(e^z-1) → -1/2,
可知z = 0作为f(z)-1/z²+1/(2z)的极点阶数小于1,即为可去奇点.
这说明f(z)在z = 0处的Laurent展开的主部为1/z²-1/(2z),
因此f(z)在z = 0处的留数为-1/2.
最后,由于2kπi都是f(z)的极点,因此无穷远点不是f(z)的孤立奇点.
注:对z = 0处留数的求法可能不太常规(只是个人偏好这种方法).
较为常规的做法大概是用lim{z → 0} (z²f(z))'来求.

---

钟祥市13849088108： 求函数在孤立奇点(包括无穷远点)处的留数1/[z*(e^z - 1)] - ？
穆福养阴：[答案] 首先,可知e^z-1的零点集合为{ 2kπi | k为整数},且易见这些零点都是1阶的. 而z有唯一的零点z = 0,且显然是1阶零点. 于是,f(z) = 1/(z(e^z-1))的在复平面上极点集合也是{ 2kπi | k为整数}, 其中z = 0为2阶极点,其余点均为1阶极点. 由e^x在x = 0处的...

钟祥市13849088108： f(z)=2z/(1+z^2)在无穷远点处的留数用规则四可做出答案: - 2;洛朗展开也可得之;但通过t=1/z来求z=无穷的奇点性质(可去、极点、本性),却发现它是可... - ？
穆福养阴：[答案] 可能你计算错误,解题如下:Res[f(z),∞]=-Res[f(1/z)*1/z^2,0]将1/z带入上式可得:f(1/z)*1/z^2=2/z(z^2+1),易知z=0是在z*(z^2+1)的一阶零点,则z=0是2/z*(z^2+1)的一阶极点所以Res[f(1/z)*1/z^2,0]=lim(z*2/z(z...

钟祥市13849088108： 求函数在孤立奇点(包括无穷远点)处的留数 - ？
穆福养阴： f(z) = (1-e^(2z))/z^4.易见f(z)在复平面上只有唯一极点z = 0.由幂级数展开e^z = 1+z+z²/2+z³/6+..., 可算得e^(2z) = 1+2z+2z²+4z³/3+...,进而得到z = 0处Laurent展开f(z) = (1-e^(2z))/z^4 = 1/z^4+2/z³+2/z²+4/(3z)+...-1次项系数为4/3, 即Res(f,0) = 4/3.由留数定理, Res(f,0)+Res(f,∞) = 0, 故Res(f,∞) = -4/3.

钟祥市13849088108： 求f(z)=e^z/(z^2 - 1)在无穷远点的留数我用规则4计算时,化成Res[e^(1/z)/(1 - z^2),0],然后将e^(1/z)/(1 - z^2)展开成z的洛朗级数,发现含有无穷多个正幂项(无... - ？
穆福养阴：[答案] 首先找出f(z)的奇点,为z=±1且都是一介极点 那么无穷远点的留数就等于这两点的留数和的相反数, z=-1点的留数,根据定理得到{(e^z)/(z-1)|[z=-1]}=(-1/2)e^(-1) z=1点的留数为(1/2)e 那么无穷远点的留数为-[(-1/2)e^(-1)+(1/2)e]=-sh1 ...

钟祥市13849088108： 求函数在孤立奇点(包括无穷远点)处的留数(1 - e^2z)/z^4 - ？
穆福养阴：[答案] f(z) = (1-e^(2z))/z^4.易见f(z)在复平面上只有唯一极点z = 0.由幂级数展开e^z = 1+z+z²/2+z³/6+...,可算得e^(2z) = 1+2z+2z²+4z³/3+...,进而得到z = 0处Laurent展开f(z) = (1-e^(2z))/z^4 = 1/...

钟祥市13849088108： e^(1/(1 - z))在1处的留数是多少? - ？
穆福养阴： 首先找出f(z)的奇点,为z=±1且都是一介极点 那么无穷远点的留数就等于这两点的留数和的相反数, z=-1点的留数,根据定理得到{(e^z)/(z-1)|[z=-1]}=(-1/2)e^(-1) z=1点的留数为(1/2)e 那么无穷远点的留数为-[(-1/2)e^(-1)+(1/2)e]=-sh1至于你说的那个规则4,我就不清楚了,一般来说,计算留数时不是去把函数展成洛朗级数,然后找相关的系数,而是根据求留数的相关定理去求展成洛朗级数去求留数这个只是理论上的推导,实际上我们很少用到

钟祥市13849088108： f(z)=1/(1 - e的z次方)求留数 - ？
穆福养阴： 如图所示:

钟祥市13849088108： e^(1/(1 - z))在1处的留数是多少?？
穆福养阴： 解:f(z)=[e^(1/z)]/(1-z)在z=0点是其本性奇点.∵f(z)=(1+z+z^2+z^3+…+z^n+…)[(1+1/z+(1/2)/z^2+…+(1/n!)/z^n+…]=[(1+1/z+(1/2)/z^2+…+(1/n!)/z^n+…]+[(z+1+(1/2)/z+…+(1/n!)/z^(n-1)+…]+…+[(z^(n-1)+z^(n-2)+…+(1/n!)/z+…]+…=…+(1+1/2+…+1/n!+…)/z+(1+1+1/2+…+1/n!+…)+(1+1+1/2+…+1/n!+…)z+…,故Res[f(z),0]=1+1/2+…+1/n!+…=e-1.供参考.

钟祥市13849088108： 1/cos(1/z)在无穷远的留数 - ？
穆福养阴： 1/cos(1/z) cos(1/z)当Z越大时,1/z就越小,cos从0度到90度是逐渐变小的,当cos(1/z)趋近于0时,(却不可能为0)1/cos(1/z)就为1.

钟祥市13849088108： f(z)的可去奇点为无穷远∞,留数Res(f(z),∞)为什么不一定为零 - ？
穆福养阴： 草长莺飞二月天,拂堤杨柳醉春烟.