求过点P（1,2,5）的切平面的方程。

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结果为：2x+4y-z=5

解题过程如下：

解：设曲面为F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0

且曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行

分别对F(x,y,z)进行x，y，z求偏导，得

φF(x,y,z)/φx=2x，φF(x,y,z)/φy=2y、φF(x,y,z)/φz=-1

∵ 平面2x+4y-z=0的法向量为m=(2,4,-1)

∴可得2x0/2=2y0/4=-1/(-1)

∴x0=1，y0=2，z0=5

过点P(1,2,5)且与平面2x+4y-z=0平行的切平面为

2(x-1)+4(y-2)-1(z-5)=0

∴切平面的方程为2x+4y-z=5

扩展资料

求平行的切平面的方程的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

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