四年级奥数详解蝴蝶模型
蝴蝶定理(Butterfly theorem),是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年,而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号,由于其几何图形形象奇特,貌似蝴蝶,便以此命名。
定义
蝴蝶定理(Butterfly Theorem):设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y,则M是XY的中点。
去掉中点的条件,结论变为一个一般关于有向线段的比例式,称为"坎迪定理", 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2,3均成立。
定理历史
这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》(Gentleman's Diary)39-40页(P39-40)上。有意思的是,直到1972年以前,人们的证明都并非初等,且十分繁琐。
这篇文章登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳(他发明了多项式方程近似根的霍纳法)给出了第一个证明,完全是相等的;另一个证明由理查德·泰勒(Richard Taylor)给出。
另外一种早期的证明由M.布兰德(Mile Brand)1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法,由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"给出,只有一句话,用的是线束的交比。
"蝴蝶定理"这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号,题目的图形象一只蝴蝶。
1981年,Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳(Kesirajn Satyanarayana)用解析几何的一种比较简单的方法,利用直线束,二次曲线束。
蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举,至今仍然被数学热爱者研究,在考试中时有出现各种变形。
扩展资料:
验证推导
霍纳证法
过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,
连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF
作图法
从X向AM和DM作垂线,设垂足分别为X'和X''。类似地,从Y向BM和CM作垂线,设垂足分别为Y'和Y''。
定理推广
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况,有多种推广:M,作为圆内弦是不必要的,可以移到圆外。
参考资料:百度百科-蝴蝶定理
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