如图，AB为⊙O的直径，在BA的延长线上取一点P，使PA=AO，弦CD⊥AB且过OA的中点，连接AC、PC

如图,p是圆o弦AB中点,PC⊥OA于C,求证PA:PB=AC:AO~

题有问题，应是PA*PB=AC*AO
证明：因为P是圆O弦AB中点
所以OP垂直AB于P
AP=PB
所以角APO=90度
因为PC垂直OA于C
所以角ACP=90度
所以角APO=角ACP=90度
因为角A=角A
所以三角形OAP和三角形PAC相似（AA)
所以PA/AO=AC/AP=AC/PB
所以PA*PB=AC*AO

大概有7、8年没做过证明题了，我用了一个最原始的方法，可以借鉴下：
因为看不清你的图，按照你的题意画的图，随便画了个图，应该看得懂的！
连接AC,BD；连接圆O到A,B,C,D;因为园的半径相等所以△OBD中∠OBD=∠ODB；△ODC中∠OCD=∠ODC；△OCA中∠OCA=∠OAC;△QAB中∠OAB=∠OBA；又因为△PAC中AP=PC,所以∠PAC=∠PCA；又因为∠OCA=∠OAC，所以∠OCD=∠OAB;又因为∠OCD=∠ODC和∠OAB=∠OBA，所以∠CDO=∠ABO，又因为∠OBD=∠ODB，所以∠CDB=∠ABD，所以PD=PB，又因PA=PA，所以AB=CD

(2):

连接QA;QM;AD;

∵Q是△CAM的内心且在CD上；

∴CD平分∠MCA;

∴∠ACD=∠DCM=30°；

∴∠MCA=60°

∠CMA=∠ADC=∠ACD=30°；

∴∠CAM=180°-∠CMA-∠MCA=90°；

∵AQ平分∠CAM;

∴∠QAM=1/2∠CAM=45°；

∵∠DAM=∠DCM=30°；

∴∠QAD=∠DAM+∠QAM=75°；

∴∠AQD=180-∠QAD-∠ADC=75°；

∴∠QAD=∠AQD;

∴DQ=DA=AC;;

AC=OA=OC=R=1/2AB=1；

所以DQ=1；

---

围场满族蒙古族自治县18434386313： 如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切于点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD.(1)求证:∠CDE=2∠B;(2)若BD:AB=3... - ？
彘刘罗格：[答案] (1)证明:连接OD. ∵直线CD与⊙O相切于点D, ∴OD⊥CD,∠CDO=90°,∠CDE+∠ODE=90°. 又∵DF⊥AB,∴∠DEO=∠DEC=90°. ∴∠EOD+∠ODE=90°, ∴∠CDE=∠EOD. 又∵∠EOD=2∠B, ∴∠CDE=2∠B. (2) 连接AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴...

围场满族蒙古族自治县18434386313： 如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,CA=AO,点D在⊙O上,∠ABD=30°. ⑴求证:CD是⊙O的切线;⑵ - ？
彘刘罗格： (1)证明:连结OD、DA ∵AB是⊙O的直径,∴∠BDA=90° 又∠ABD=30°,∴AD= AB=OA 又AC=AO,∴∠ODC=90° ∴CD切⊙O于点D (2)方法一:连结PE,由(1)知∠DAB=60°,又AD=AC ∴∠C=30° 又∵DE切⊙P于E,∴PE⊥CE ∴PE= CP 又PE=BP=R,CA=AO=OB=r ∴3r=R,即 方法二:连结PE, 又∵DE切⊙P于E,∴PE⊥CE ∴OD∥PE ∴ = 即 ,∴ (1)欲证:CD是⊙O的切线,只要转化为证明∠ODC=90°即可;(2)连接PE,易证 ,又PE=BP=R,CA=AO=OB=r,即可得到结果.

围场满族蒙古族自治县18434386313： 已知:如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD交AB于E,连接OD、PC、BC,∠AOD=2∠ABC,∠P=∠D,过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点,... - ？
彘刘罗格：[选项] A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④

围场满族蒙古族自治县18434386313： 已知:如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D,连接BC.求证:(1)BC - ？
彘刘罗格：证明:(1)连接OC.(1分) ∵PD切⊙O于点C, 又∵BD⊥PD, ∴OC∥BD. ∴∠1=∠3.(2分) 又∵OC=OB, ∴∠2=∠3.(3分) ∴∠1=∠2,即BC平分∠PBD.(4分)(2)连接AC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°.(5分) 又∵BD⊥PD, ∴∠ACB=∠CDB=90°(6分) 又∵∠1=∠2, ∴△ABC∽△CBD;(7分) ∴ AB CB = BC BD ,∴BC2=AB?BD.(8分)

围场满族蒙古族自治县18434386313： (2010?沈阳)如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切于点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=1 - ？
彘刘罗格： 解答:(1)证明:连接OD. ∵直线CD与⊙O相切于点D,∴OD⊥CD,∠CDO=90°,∠CDE+∠ODE=90°. (2分) 又∵DF⊥AB,∴∠DEO=∠DEC=90°. ∴∠EOD+∠ODE=90°,∴∠CDE=∠EOD. (3分) 又∵∠EOD=2∠B,∴∠CDE=2∠B. (4分) (2)...

围场满族蒙古族自治县18434386313： 已知:如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,CD⊥AB,垂足为D,点P在BA的延长线上,且PC是圆O的切线.(1)求证:∠PCD=∠POC;(2)若OD:DA... - ？
彘刘罗格：[答案] (1)∵PC是圆O的切线, ∴OC⊥PC. 又CD⊥AB, ∴∠PCD=∠POC. (2)设OD=x,DA=2x, 根据两个角对应相等得到△PCO∽△CDO, 则OC2=OD•OP,即9x2=x(8+3x), 解得x= 4 3或x=0(不合题意,应舍去), 则圆的半径是3x=4.

围场满族蒙古族自治县18434386313： 如图15,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB于点E,ㄥPOC=ㄥPCE.若OE: - ？
彘刘罗格： ㄥPOC=ㄥPCE ㄥCPO=ㄥCPO,因此CEP和CPO两个三角形相似,ㄥPCO为90度.OC和OA都为圆半径,又因为OE=1/3OA,因此根据勾股定理有CE=2√2OE=√2AE,设OE为x,则OA=OC=3x,因为CE^2+PE^2=CP^2且CO^2+CP^2=OP^2,因此有CE^2+PE^2+CO^2=OP^2,CE=2√2x,PE=6+2x,CO=3x,OP=6+3x,列方程就可以了.化简有8x^2+4x^2+36+24x+9x^2=9x^2+36+36x,继续化简有8x^2+4x^2+24x=36x即12x^2=12x,又因为x不等因此x=1,半径为3x故圆的半径为3

围场满族蒙古族自治县18434386313： 如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB于点E,∠POC=∠PCE.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2 - ？
彘刘罗格： (1)证明:∵弦CD⊥AB于点E,∴∠CEP=90°. ∵∠POC=∠PCE,∠P=∠P,∴△POC ∽ △PCE,∴∠PCO=∠CEP=90°. ∴PC是⊙O的切线. (2)∵OE:EA=1:2,∴OE:OC=13 ,OC:OP=13 . ∵PA=6,∴⊙O的半径=3. (3)连接BC;∵圆的半径为3,OE:EA=1:2,∴OE=1,∴EC=22 ,BE=4;∴BC=26 . ∵∠PCA=∠B,∴sin∠B=sin∠PCA=2226 = 33 .

围场满族蒙古族自治县18434386313： (选做题)如图,AB是⊙O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证: (1)∠DEA=∠DFA; (2)AB 2 =BE·BD - AE·AC. - ？
彘刘罗格：[答案] (1)连接AD,因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90° 又EF⊥AB,∠EFA=90°, 则A,D,E,F四点共圆, ∴∠DEA=∠DFA. (2)由(1)知,BD·BE=BA·BF, 又△ABC∽△AEF, ∴ 即AB·AF=AE·AC ∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF...

围场满族蒙古族自治县18434386313： 如图,AB是圆O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与圆O相切于点D,弦DF垂直AB于点E,线段CD=10,连接BD - ？
彘刘罗格： (1)证明:因为AB是直径,DF垂直AB 所以AB垂直平分DF(垂径定理) 连接BF则∠CBD=∠CNF 所以∠DBF=2∠CBD CD是圆O的切线,∠CDE是弦切角 所以∠CDE=∠DBF 所以∠CDE=2∠CBD(即∠B) (2)设圆O的半径为a,则AB=2a 因...