微积分高分求解！！

微积分题！！高分求解详细过程，谢谢！~

新年好！Happy Chinese New Year !

1、本题是你们老师出的？还是书上的题目？
本题不是出错了？你最好跟你的老师核实一下。

2、我的参考解答如下，如果你的老师说题目没有错。
那么请他自己代换一下。到那时，也请楼主将解答在这里贴一下，
让我增长增长见识，看看我的解答到底错在哪里。好吗？谢谢你。

1、cosx→1 (x→0) sinx/x→1 (x→0)
所以lim(x→0) 2sin^2x/x^2*cos^2x=lim(x→0) 2(sinx/x)^2 =2
2、d(tanh(sin3x)/dx=3sech^2(sin3x)*cos3x （直接运用dtanhx=sech^2x）
3、先取对数，ln(1/x)^sinx=-sinx*lnx
而lim(x→0)sinx*lnx=lnx/(1/sinx) （罗必塔法则）=(lnx)'/(1/sinx)'=sin^2x/x*cosx（再用罗必塔）
= 2sinxcosx/(cosx-xsinx)=0/(1-0)=0
所以lim(x→0)ln(1/x)^sinx=0，那么lim(x→0)(1/x)^sinx=1
4、d(2^x+3^x)/dx=ln2*2^x+ln3*3^x
5、∫tan^3x*sec^3x=∫ tanx*sec^3x*(sec^2x-1)dx 令u=secx du=tanx*secxdx
所以=∫ u^2(u^2-1)du=∫ u^4-u^2du=1/5u^5-1/3u^3+C= 1/5sec^5x-1/3sec^3x+C
6、∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)/2dx=x/2-1/4sin2x+C
7、∫(lnx)^2dx=x(lnx)^2-∫xd(lnx)^2（分部积分）=x(lnx)^2-2∫lnxdx（分部积分）
=x(lnx)^2-2xlnx+2∫xd(lnx)=x(lnx)^2-2xlnx+2∫ dx=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C
8、令u=x^(1/6) du=dx/6x^(5/6)
原式=6∫u^2/(1+u^2)du=6∫(1-1/(1+u^2)du=6(u-arctanu)+C=6(x^(1/6)-arctan(x^(1/6)))+C
9、∫(0,2)x^2*√x^3+1dx=1/3∫(0,2)√x^3+1d(x^3+1)=1/3*2/3 (x^3+1)^(3/2) (0,2)=52/9
10、∫(0,e^2)lnxdx=xlnx-x (0,e^2) （分部积分）=e^2
这里有lim(x→0)xlnx=0
11、∫(0,∞) x*e^(-x)dx=-∫(0,∞) xde^(-x)=-x*e^(-x)+∫e^(-x)dx=-(x*e^(-x)+e^(-x)) (0,∞)=1
这里用到lim(x→∞)x*e^(-x)=0
12、∫(1,∞)x^(-a)dx=1/(1-a)x^(1-a) (1,∞)=1/(a-1)
手打不易，如果有什么不清楚或者错误的地方请追问，望采纳~~~

1，将x=rcosθ与ycosθ带入

那么dxdy表示的区域现在应该是
dx = dx/dr * dr + dx/dθ * dθ
= cosθ*dr - rsinθ*dθ
dy = sinθ*dr + rcosθ*dθ

dxdy = r*cosθ*cosθ*dr∧dθ - r*sinθ*sinθ*dθdr
= r(cosθ*cosθ+sinθ*sinθ)drdθ
= rdrdθ

2.不等价，
1/（1+1/x），这不是标准形式！标准形式必须是1/（1+t），或者1/（1-t）
因为就1/（1+1/x），来说，收敛的条件是，x>1，或者x<-1
而题目本身x/(x+2) 只有当x>1，x<-1显然是发散的
所以不能用这个形式进行简单的t=1/x的替换！
此类题一定要用标准形式。

3.
dp/[(1+p^2)^(2/3)]=dx

令p=tanθ，带入
(secθ)^2/(secθ)^3dθ=dx
则cosθdθ=dx
x+C=sinθ
代换回来！
x+C=(1+p^2)^(1/2)/p

4.这个简单啊，对于幂级数，如果收敛半径为0，
那么lim|a(n+1)/a(n)|=+∞
因为，r=lim|a(n)/a(n+1)|

或者对于需要分段讨论的幂级数，
例如∑x^n^2/x^n

lim |a(n)/a(n+1)|=

0 |x|<1
1/2 |x|=1
+∞ |x|>1
显然，收敛半径为1,(-1<x<1时）
但是lim |a(n)/a(n+1)|极限不存在

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