例6（08盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．~

（1）①垂直，相等．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．证明：∵正方形ADEF，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠DAF=∠BAC，∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即：∠DAB=∠FAC，∵AB=AC，AD=AF，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°，即CF⊥BD．（2）①当∠BCA=45°，CF⊥BD，如图丙证明：过点A作AG⊥AC于A交BC于点G，∴∠AGC+∠ACG=90°，∵∠ACG=45°，∴∠AGC=∠ACG=45°，∴AC=AG，与（1）②同理，CF⊥GD，即CF⊥BD．②解：过点A作AH⊥BC于点H，与（1）②同理，CF⊥GD，∵AC=AG，AC=42，CF=3，∴GD=3，AG=42，∴在Rt△ACG中，GC=AG2+AC2=8，∴CD=GC-GD=5，∵AC=AG，AH⊥GC，∴GH=CH=12GC=4，∴DH=CD-CH=1，∵在Rt△ACG中，GH=CH，∴AH=12GC=4，∴在Rt△ADH中，AD=AH2+DH2＝17．

（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中， AB=AC ∠CAF=∠BAD AD=AF ，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；②如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中， AB=AC ∠CAF=∠BAD AD=AF ，∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中， AC=AE ∠CAF=∠EAD AD=AF ，∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．

（2008•湖州）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为垂直

垂直

，数量关系为相等

相等

．

②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：动点型；探究型．分析：（1）当CF与BD位置关系为互相垂直，数量关系是相等．首先证明△DAB≌△FAC，然后推出∠ACF=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，求出CF⊥BD；
（2）根据题意画出图形来理解．学会数形结合解答问题．
（3）过点A作AG⊥AC，证明△GAD≌△CAF后可证得CF⊥BD；
（4）作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，利用勾股定理求出AQ=CQ=2，证明△AQD∽△DCP，利用线段比求出CP的值．解答：解：（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；（1分）

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立．

②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立．（4分）

（3）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图6）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）

（4）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图7），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=2 2 ，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴CP DQ =CD AQ ，∴CP 2-x =x 2 ．
∴CP=-1 2 x2+x=-1 2 （x-1）2+1 2 ．（7分）
∵0＜x≤3 2 ，
∴当x=1时，CP有最大值1 2 ．（8分）

（2008•湖州）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为垂直
垂直
，数量关系为相等
相等
．
②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC=4 2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

 

 

解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等

 

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC
又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）当具备∠BCA=45°时
过点A作AQ⊥BC交BC于点Q，（如图）
∵DE与CF交于点P时，
∴此时点D位于线段CQ上
∵∠BCA=45°，可求出AQ=QC=4．
设CD=x，
∴DQ=4+x
容易说明△AQD∽△DCP，
∴PC DQ =CD AQ ，
∴CP 4+x =x 4 
∴CP=x2 4 +x，
∵0＜x≤3，
∴当x=3时，CP有最大值5.25．

 

 

 

（1）略（2）如果AB≠AC，角BAC≠90度，点D在线段BC上运动。

  试探究：当三角形ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（c,f重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写做法）

   （3）若AC=4√2,BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。

解：（1）①垂直；相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°， AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°，即 CF⊥BD。

（2）画图正确，　　　　　　　
当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁），
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG，
可证：△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGD=45o ，∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o，
即CF⊥BD。

　　解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等

　　②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立

　　由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度

　　∵∠BAC=90°，

　　∴∠DAF=∠BAC，

　　∴∠DAB=∠FAC

　　又∵AB=AC，

　　∴△DAB≌△FAC，

　　∴CF=BD

　　∠ACF=∠ABD

　　∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°

　　∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

　　（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）

　　理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

　　可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°

　　∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

　　即CF⊥BD．

　　（4）当具备∠BCA=45°时，

　　过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图2）

　　∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，

　　∵∠BCA=45°，AC=2根号3，

　　∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．

　　设CD=x，∴DQ=2-x，

　　∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°

　　且∠ADE=90°，

　　∴∠ADQ+∠PDC=90°，

　　又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°

　　∴∠ADQ=∠DPC，

　　∵∠AQD=∠DCP=90°

　　∴△AQD∽△DCP，

　　∴CP/DQ=CD/AQ，∴CP/2-x=x/2-1/2．

　　∴CP=-1/2x的平方+x=-1/2（x-1）2+1/2．

　　∵0＜x≤3/2，

　　∴当x=1时，CP有最大值1/2．

---

东坡区19510567454： (2013?盐城)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=5cm,AC=2cm,将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1 - ？
伍骅壮骨： 在Rt△ABC中,BC= AC2+AB2 = 29 ,扇形BCB1的面积是=45π*( 29 )2 360 =29π 8 ,S△CB1A1=1 2 *5*2=5;S扇形CAA1=45π*22 360 = π 2 . 故S阴影部分=S扇形BCB1+S△CB1A1-S△ABC-S扇形CAA1=29π 8 +5-5- π 2 =25π 8 . 故答案为:25π 8 .

东坡区19510567454： (2006?盐城一模)如图甲所示,在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水,水中放一个蜡烛做的蜡块,将玻璃 - ？
伍骅壮骨： 解:(1)如图 (2)蜡块在水平方向做匀加速运动,每相邻1秒位移差值 △x=7.5-2.5=12.5-7.5=17.5-12.5=5(cm) △x=at2 则加速度a= △x t2 =5*10?2m/s2 (3)竖直方向上的分速度vy= y t =0.1m/s 水平分速度vx=at=0.1m/s 根据平行四边形定则得,v= v 2 x + v 2 y =1 102 m/s 答:(1)如图所示. (2)玻璃管向右平移的加速度为5*10-2m/s2. (3)t=2s时蜡块的速度为 2 10 m/s.

东坡区19510567454： (2010?盐城)如图:在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则菱形的边长为()A.5B.10C.6D. - ？
伍骅壮骨： 解:设AC与BD相交于点O,由菱形的性质知:AC⊥BD,OA=1 2 AC=3,OB=1 2 BD=4 在Rt△OAB中,AB= OA2+OB2 = 32+42 =5 所以菱形的边长为5. 故选A.

东坡区19510567454： (2012?盐城)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为 - ？
伍骅壮骨： 添加的条件是∠A=90°,理由是:∵AB∥DC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,故答案为:∠A=90°.

东坡区19510567454： 2、(02江苏盐城)已知:如图,在直角三角形ABC中, ∠BAC= 90°,AB= AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G - ？
伍骅壮骨： 分析:(1)根据题意,易证△GBD∽△CBE,得 BD/BE=BG/BC,即BD•BC=BG•BE;(2)可通过证明ABG∽△EBA从而求得AG⊥BE;(3)EF:FD=1: 10. 解答:证明:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC ∴∠ABC=∠C=45° ∵∠BGD=∠FGE=45° ∴∠...

东坡区19510567454： (2011?盐城)如图,△ABC的顶点都在正方形网格格点上,点A的坐标为( - 1,4).将△ABC沿y轴翻折到第一象 - ？
伍骅壮骨： 解答:解:如图:∵点A的坐标为(-1,4),∴点C的坐标为(-3,1),∵将△ABC沿y轴翻折到第一象限,∴点C的对应点C′的坐标是(3,1). 故答案为:(3,1).

东坡区19510567454： 已知A、B两地相距300km,甲、乙两车从A地出发驶向B地,甲车到B地办完事后立即返回A地,如图是甲、乙两车 - ？
伍骅壮骨： (1)由函数图象,得 乙车到达B地用的时间为:4-(-1)=5小时;乙车的速度是:300÷5=60km/h;(2)当0≤x≤2.5时,设线段OA的解析式为y1=k1x,由图象,得300=2.5k1,k1=120,∴y1=120x 当3≤x≤6时,设线段BC的解析式为y2=k12x+b2,由图象,得 ...

东坡区19510567454： (2011•盐城模拟)如图,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是棱CC1的中点,(1)求证:A1B⊥AM;(2)求直线AM与平面... - ？
伍骅壮骨：[答案] (1)如图,以B为原点,BA、BB1所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A1(0,2, 6),A(0,2,0),M( 3 2, 1 2, 6 2), ∴ A1B=(0,−2,− 6), AM=( 3 2,− 3 2, (1)由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系,求对应向量的数量积为零,即得出垂...

东坡区19510567454： (2013•盐城模拟)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于D,将A、D重合折叠,折痕交AB于E,交AC于F,连接DE、DF,(1)判断四边形AEDF的形状... - ？
伍骅壮骨：[答案] (1)四边形AEDF是菱形.理由:由折叠的性质可得:AE=ED,AF=FD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2,∴∠1=∠4,∠2=∠3,∴AE∥DF,AF∥ED,∴四边形AEDF是平行四边形,∴AE=DF,AF=DE,∴AE=ED=DF=AF,...

东坡区19510567454： (2007•盐城)如图,矩形EFGH的边EF=6cm,EH=3cm,在▱ABCD中,BC=10cm,AB=5cm,sin∠ABC=35,点E、F、B、C在同一直线上,且FB=1cm,矩形... - ？
伍骅壮骨：[答案] (1)作AM⊥BC,∵AB=5,sin∠ABC=3/5,∴BM=4,AM=3(1分)①当GF边通过AB边的中点N时,有BF=12BM=2,∴t1=3(s).(2分)②当EH边通过AB边的中点N时,有BE=12BM=2∴BF=2+6=8∴t2=8+1=9(s).(3分)③当GF边通过...