如何证明函数f(x)在X上有界？
证明有界的思路是：存在一个正数M，使对所有x，满足|f(x)|<M。
设函数f(x)的定义域为D，f（x）在集合D上有定义。
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
扩展资料
一、注意：
1、函数在某区间上，要么有界要么无界，二者必属其一；
2、从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
二、相关应用：
例：讨论下列函数的有界性：
由于对一切
都有
所以
在
上是有界函数。
判断函数F(x)=1\/x在(0,+无穷)上的增减性并证明
设0<x1<x2 f(x2)-f(x1)=1\/x2 - 1\/x1=(x1-x2)\/(x1•x2)<0 所以 f(x2)>f(x1)从而 f(x)=1\/x在（0,+∞)上是减函数。
证明f)x=x平方加一分之x的单调区间
f'(x)=[(x^2+1)-2x^2]\/(x^2+1)^2=(1-x^2)\/(x^2+1)^2,分母无论x取何值总是大于0，判断单调性只要看分子的正负符号。当1-x^2>=0时，f'(x)>=0,是单调增函数，x^2<=1,∴-1<=x<=1,x∈[-1，1]单调增函数。1-x^2<0,是单调减函数，∴x>=1,或x<=-1,,x∈（...
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...1次方+b)(a,b为实常数) 1.当a=b=1时证明f(x)不是奇函数
1、证明：当a=b=1时，虽然f(0)= 0，但是，f(x)+f(-x)≠0 ∴ 此时，f(x)不是奇函数。f(x)+f(-x) = (-2^x + 1) \/[2^(x+1) +1] + [ - 2 ^(-x) +1] \/ [ 2^(1-x) +1]= (-2^x + 1) \/[2^(x+1) +1] - [ - 2 ^x +1] \/ [...
f(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,且f(0)=f(1)=0,那么证明:(0,1)中存在t使 ...
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狄追威哌： 证明: 若函数f(x)在X上有界, 则存在M>0,对任意x∈X, |f(x)|<M. -M<x<M 若函数f(x)在X上既有上界又有下界, 即对任意x∈X,存在m<n, 使m<|f(x)|<n 取正数M=max{|m|,|n|} 有-M≤m<|f(x)|<n≤M 即-M <|f(x)|< M |f(x)|<M.希望得到您的采纳,谢谢
望花区19589993470： 设f(x)函数在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. - ？
狄追威哌：[答案] 证明: 若函数f(x)在X上有界, 则存在M>0,对任意x∈X, |f(x)|-M若函数f(x)在X上既有上界又有下界, 即对任意x∈X,存在m使m取正数M=max{|m|,|n|} 有-M≤m即-M |f(x)|解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答
望花区19589993470： 设函数f(x)在数集x上有定义,证明函数f(x)在x上有界的充要条件是它在x上既有上界又有下界 - ？
狄追威哌：[答案] 充分性: f(x)既有上界又有下届,所以f(x)M2 所以|f(x)|
望花区19589993470： 关于函数方面设函数f(x)在数集X上有定义,证明f(x)在X上有界的充要条件是它在X上既有上界又有下界. - ？
狄追威哌：[答案] 证明: 若函数f(x)在X上有界, 则存在M>0,对任意x∈X, |f(x)|
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狄追威哌：[答案] ……这个也需要证明? |f(x)| ≤ M → -M ≤ f(x) ≤ M,所以有界则既有上界又有下界. A ≤ f(x) ≤ B → |f(x)| ≤ max{|A|,|B|},所以既有上界又有下界则有界.
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望花区19589993470： 高数方面的问题设函数f(x)在数集X强有定义,试证明:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上即有上界又有下界. - ？
狄追威哌：[答案] 这种题你要根据有界性的 定义来证明. 存在一个正数H 使得当X属于定义区间时,f(x)的绝对值 ≤H 恒成立 这样就说f(x)有界. 先证明有界的充分性(即看某某条件能否推出f(x)有界) 依题意, f(x)在区间上 有上界和下界 不妨设 最小值为m 最大值为M ...
望花区19589993470： 如何证明函数有界 (f)x=x²sinx - ？
狄追威哌：[答案] 可证明此函数是无界的. 当x=2kπ+π/2时,f(x)=(2kπ+π/2)² 当k->+∞时,f(x)->+∞ 因此函数无界.
望花区19589993470： 函数的有界高数一第一章第第一节:13.设函数f(x)在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件条件是它在X上既有上界又有下界. - ？
狄追威哌：[答案] 函数f(x)在X上有界就是存在正数M,使得f(x)的绝对值≤M,即-M≤f(x)≤M,所以f(x)在X上既有上界又有下界.反过来,f(x)在X上既有上界又有下界说明存在m1,m2,使得m1≤f(x)≤m2,可令M=max(m1的绝对值,m2的绝对值),则f(x)的绝对值≤M,所以f(x)...
