f(x)在[0,1]连续，(0,1)可导，且f(0)=f(1)=0，那么证明：(0,1)中存在t使得f'(t)-2011f(t)=0。
这个函数应该是定义在R上的。
只需证明： 如果f''(x)恒不等于0，则f(x)无界。
f'是连续可导函数。f''(x)恒不等于0，所以f'是单调函数。（否则，f'存在局部极值，而在局部极值点的导数 f''=0）. 不妨设f'为单增函数，（否则，考虑-f）. 存在 x0 使得 f'(x0) 不等于0，
1. 如果 f'(x0)=a>0, 则 对 x>x0, f'(x)>a, f(x)=f(x0)+f'(t)(x-x0)>f(0)+a(x-x0) -----> 无穷大，当x--->无穷大时。
2. 如果 f'(x0)=af(0)+a(x-x0) -----> 无穷大，当x---> 负无穷大时。
即：如果f''(x)恒不等于0，则f(x)无界。
所以f(x)有界且二阶可导，则存在一点t使得f''(t)=0。
证明：构造函数y=xf(x),因为y(0)=0,y(a)=0,且y‘=f(x)+xf'(x),在【0，a】连续，所以根据罗尔定理，存在一点t属于(0，a)，使f(t)+tf'(t)=0。
罗尔定理：
设函数f(x）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b），在开区间（a,b）上可导，
且f(a)=f(b），那么至少存在一点ξ∈（a、b），使得 f'（ξ）=0。
记g(x)=f(x)exp(-2011x)
有初等函数性质可知g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
且g(0)=g(1)=0
由罗尔定理
存在t∈(0,1),使得
g'(t)=[f'(t)-2011f(t)]exp(-2011t)=0
又exp(-2011t)≠0
则f'(t)-2011f(t)=0
即证.
我觉得应该是用罗尔定理
设函数f (x)在[0 ,1]上二阶可导,f (0) = f (1) = 0,且f (x)在[0...
f（m）=-1，f'(m)=0 （2）在[0,m]使用拉格朗日中值定理 存在0<ξ1<m,f'(ξ1)=[f(m)-f(0)]\/(m-0)=-1\/m (3)在[m,1]使用拉格朗日中值定理 存在m<ξ2<1,f'(ξ2)=[f(1)-f(m)]\/(1-m)=1\/(1-m)(4)在[ξ1,m]对于f'(x)使用格朗日中值定理 存在0<ξ1<ζ1<...
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1...
简单计算一下即可，答案如图所示
函数f(x)在[0,1]上有定义
假设存在x1 x2满足 |f(x1)-f(x2)| >= 1\/2 不妨设x1<x2 则 |x1-x2| > |f(x1)-f(x2)| >= 1\/2 ，即如果存在这样的x1和x2, x1和x2之间的距离必定超过1\/2 那么剩下的距离就不超过1\/2 即|x1| + |1-x2| < 1\/2 在已知条件中分别让m、n给为0 x1 \/ x2 1，得...
若f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1证明在(0,1)内存在ξ...
由介值定理 f（x）在[0,1]上 则存在 f（c1）=1\/2 ①，f（c2）=1\/6② 不妨设 0<ε1<c2<ε2<c1<ε3<1 由拉格朗日中值定理有：f(c2)-f(0)=f’(ε1) [c2-0];③ f(c1)-f(c2)=f’(ε2) [c1-c2];④ f(1)-f(c1)=f’(ε3) [1-c1];⑤ 将①②③④⑤ 带入1\/...
函数y= f(x)在点(0,1)求导?
求导时比较适用对数求导法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。不是所有的函数都可以求导；可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导（如y＝｜x｜在y＝0处不可导）。
假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,并且对[0,1]上任意点x有0<f(x)<1...
证明:设g(x)=f(x)-x,则g(0)=f(0)>0,g(1)=f(1)-1<0 根据零点定理g(x)=0在(0,1)有根
设f(x)在[0,1]上连续,求图中极限能不能用积分中值定理做出来啊?如果...
设f(x)在[0,1]上连续,求图中极限能不能用积分中值定理做出来啊?如果可以,请给出步骤。 5 不能使用请说明理由。正确答案是0.讲解是使用的积分值的绝对值小于或等于被积函数绝对值的积分,又由连续必可积,可积必有界给出极限小于或等于M∫(0->1)x^ndx=M\/(n+1)->0.这个我都... 不能使用请说明...
设f(x)在区间[0,1]可微,f(0)=0,f(1)=1 k1,k2为n个正数,
考虑g(x)=f(x)-x g(0)=0,g(1\/2)=1\/2,g(1)=-1 所以必存在m,n使g’(m)>0,g’(n)
设f(x)在[0,1]上连续,且x*f(x)在0到1上的定积分等于f(x)在0到1上的...
0，1），使得G(t）的导数等于0，可得（c-1)f(c)=0.进一步可得f（c）=0.（c-1）恒不等于0 再根据积分中值定理：0到1的被积函数为f（x）定积分=f（c1）其中c1是（0，c）一点。由以上知：存在一点c使得f（c）=0，故令c1=c，使得f（x）在0到y上的定积分为0，证 ...
在线等,高数证明,谢谢 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1...
设g(x)=f(x)-x；则g(0) > 0 , g(1) < 0 ,g(x)在[0，1]上可微、当然也连续；于是在（0 1）内有一个x，使g(x)=0,即f(x)=x；假设在（0 1）内有两个或两个以上x，使g(x)=0：记其中两个为x1、x2在（0 1）内，x1、x2不相等，且g(x1)=g(x2)=0；又因为g(x)...
艾育云南：[答案] 作辅助函数:F(x)=x立方 f(x)-f(1)x 显然满足罗尔定理前2个条件 又 F(0)=0 F(1)=f(1)-f(1)=0=F(0) 所以 由罗尔定理,得 存在ξ∈(0,1),使得 F'(ξ )=0 F'(X)=3x方f(x)+x^3 f'(x)-f(1) 即 得证.
富顺县13459666393： 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且0 - ？
艾育云南：[答案] 令F(x)=f(x)-x,F(x)=在 [0,1]上连续 ,F '(x)在(0,1)内可导,F '(x)=f '(x)-1≠0 ,所以F(x)在[0,1]上为单调数 又因为F(0)=f(0)-0>0 ,F(1)=f(1)-1
富顺县13459666393： 已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=0求证至少存在一点ξ∈(0,1).使f'(ξ)= - f(ξ)/ξ - ？
艾育云南：[答案] 证明: 设G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) ,f(ξ)的原函数为F(ξ)+C 则G(ξ)=f(ξ)*ξ+F(ξ)+C 因为 G(0)=F(ξ)+C G(1)=F(ξ)+C 所以G(0)=G(1) 所以 G(x)满足罗尔定理的条件 故,在( 0,1 ) 存在一点ξ,使 G'(ξ)=0 所以G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) =0,即 f'(ξ)=-f(ξ)/ξ
富顺县13459666393： 高数习题f(x)在[0,1]内连续,(0,1)内可导,∫(0,1)f(x)dx=0求证:存在一点x属于(0,1),使2f(x)+xf(x)=0 - ？
艾育云南：[答案] 抄错了吧 如果要证2f(x)+xf(x)=0,因为2f(x)+xf(x)=f(x)[2+x],所以只需证存在x属于(0,1),使f(x)=0即可,而这时非常容易的 因为∫(0,1)f(x)dx=0 ,根据积分中值定理,所以存在x属于(0,1),使得f(x)=0
富顺县13459666393： f(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,且f(0)=0,f(1)=1,求证存在f(a)=1 - a - ？
艾育云南：[答案] 可导的条件是多余的 令g(x)=f(x)+x,有g(0)=0,g(1)=2,又因为g(x)是连续函数,所以必有一点取到1
富顺县13459666393： 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0,1),使f'(x)= - f(ε)/ε.(提示 中值定理的 综合运用)应为设函数f(x)在[0,1]上连续... - ？
艾育云南：[答案] 证明:设g(x)=xf(x), 则g'(x)=xf'(x)+f(x) ,g(1)=1f(1)=0 ,g(0)=0*f(0)=0 所以g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且g(0)=g(1),由罗尔中值定理得: 存在一点ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0 所以f'(ε)=-f(ε)/ε
富顺县13459666393： f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导.f(0)=0,f(1)=1.证明存在两点a,b属于 (f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导.f(0)=0,f(1)=1.证明存在两点a,b属于(0,1),使得1/f'(a)... - ？
艾育云南：[答案] 由于f(0)=0,f(1)=1,且f(x)在[0,1]上连续,故根据介值定理,存在c属于(0,1),使得f(c)=1/2,.分别在[0,c]和[c,1]上使用拉格朗日中值定理,有f(c)-f(0)=1/2=f'(a)(c-0),f(1)-f(c)=1/2=f'(b)(1-c),整理得1/[2f'(a)]=c,1/[2f'...
富顺县13459666393： 设f(x)在(0,1)上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明存在0 - ？
艾育云南：[答案] 证明: 分别在[0,1/2],[1/2,1]上对f(x)运用微分中值定理 存在ξ∈(0,1/2),使得 f(1/2)-f(0)=1/2f'(ξ).(1) 存在η∈(1/2,1),使得 f(1)-f(1/2)=1/2f'(η).(2) (1),(2)相加可得 f'(η)+f'(ξ)=0 即证.
富顺县13459666393： f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内存在一点c,使得f(c)+(1 - e^ - c)f'(c)=0 - ？
艾育云南：[答案] 令g=((e^x) -1)f(x),则g在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,g(0)=g(1)=0 所以存在c,使得g'(c)=0 即e^c f(c)+(e^c -1)f'(c)=0 等式两端乘以e^-c即得.
富顺县13459666393： 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,|f'(x)|= - ？
艾育云南：[答案] 由f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(0) = f(1). 根据Rolle定理,存在c∈(0,1),使f'(c) = 0. 考虑g(x) = f'(x)(x-1),有g(x)在[c,1]连续,在(c,1)可导,且g(c) = 0 = g(1). 根据Rolle定理,存在ξ∈(c,1),使g'(ξ) = 0,即有f＂(ξ)(ξ-1)+2(ξ-1)f'(ξ) = 0. 而ξ Taylor...
