cosnx部分和有界的证明

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辉纯15530966013问： 判断这个函数项级数是否一致收敛 - ？
长宁县盐酸回答： 用狄利克雷判别法,由于a-n单调收敛,余弦的和是有界的,具体做法是对余弦的和函数乘以sin(x/2)利用积化和差公式可得有界.

辉纯15530966013问： 证明∑sinnx,∑cosnx在(0,2兀)范围内有界？
长宁县盐酸回答： 利用和差化积,我们算得: 前者和为(cos(x/2)-cos((n+1)x/2))/(2sin(x/2)). 求导可知当n趋向于无穷时,导数恒大于零(易证) 故只需证明其在x趋向于2pi时的值有限. x趋向于2pi时,分子分母的值都趋向0,利用L'Hospital法则,得 前者只和为(-sin(x/2)/2+(n+1)sin((n+1)x/2)/2)/cos(x/2)的极限.可知此时分子极限为0,分母极限为-1.故原式的值为0. 后者同样的方法亦可证明. 补充一点,这里的0可以理解为当x取一定值时,当n趋向于无穷时的极限

辉纯15530966013问： 高等数学极限习题【1】lim(1/n2)*cos nx=0【2】lim0.99……99=1 【3】【4】试证明:如果数列Xn收敛,则该数列是有界数列. - ？
长宁县盐酸回答：[答案] 1.1/n^2当n趋于无穷时按定义任取ε有|[1/n^2]-0|N,m>N时,都有|am-an|

辉纯15530966013问： 敛散性习题cosnx/n^2的敛散性 - ？
长宁县盐酸回答： 记an=cosnx,bn=1/n^2 |an|≤1有界数列;bn是p级数(1/n^p,当p>1收敛)这里p=2所以收敛 所以cosnx/n^2是收敛的(收敛数列和有界数列乘积构成的数列收敛)

辉纯15530966013问： 为什么sin(n+1/2)x/2sin(x/2)有界 - ？
长宁县盐酸回答： n=0 =>sin(n+1/2)x/2sin(x/2)=1/2 有界 n>=1 => sin(n+1/2)x/2sin(x/2)=sinnxcos(x/2)/[2sin(x/2)]+cosnx/2 sin(n+1/2)xcos(x/2)/[2sin(x/2)cos(x/2)] =[sin(n+1)x+sinnx]/2sinx −n≤sin(nx)/sin(x)≤n −n-1≤sin(n+1)x/sinx≤n+1 所以−n-1/2≤上述函数≤n+1/2

辉纯15530966013问： 部分和数列有界问题 - ？
长宁县盐酸回答： 部分和数列就是级数一部分之和,他的每一项都是原级数的部分和:第一项为原级数第一项,第二项为原级数前两项的和,第三项为原级数前三项的和……第n项为原级数钱n项的和……如果部分和数列当n趋于无穷大时的极限s存在,则原级数的和就是极限s,很好理解啊!

辉纯15530966013问： 证明sinx/x有界. - ？
长宁县盐酸回答： 提示:分3部分考虑 1.当x趋于无穷大时,limsinx/x=0,故存在M,sinx/x在|x|>M有界 2.当x趋于0时,limsinx/x=1,故存在N,sinx/x在|x|3,sinx/x在[-M,-N],和[N,M]上连续,故有界 这几个界中取最大者,就是sinx/x的界

辉纯15530966013问： 数项级数问题？
长宁县盐酸回答： 易见数列1/n单调趋于0, 只要证明数列(-1)^n·cos(n)的部分和一致有界. cos(2m)+cos(2m+2)+...+cos(2m+2k) = (2sin(1)cos(2m)+2sin(1)cos(2m+2)+...+2sin(1)cos(2m+2k))/(2sin(1)) = (sin(2m+1)-sin(2m-1)+sin(2m+3)-sin(2m+1)+...+sin(2m+...

辉纯15530966013问： 有界与无界的问题有界与无界的定义是什么?无穷大量与无界函数的区别 ？
长宁县盐酸回答： 有界、无界都是对自变量的某一个变化范围(一般是区间)而言的,如果在这个范围内,不论自变量取什么值,函数值的绝对值都不超过某个正数M,则这个函数称为在这...

辉纯15530966013问： 怎样证明∑sinxsinnx的部分和有界 - ？
长宁县盐酸回答：[答案] 用积化和差公式把sinxsinnx表示成余弦函数的差再乘以负二分之一,再代入具体的n(例如从1到n),式子会前后相消,最后剩下几项,而余弦函数有界.

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