求逆矩阵方法
求逆矩阵的方法,进来学一下吧
1、初等变换法
将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵
对B施行初等行变换,即对A与I进行完全相同的若干初等行变换,目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时,B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。
如求
的逆矩阵A-1。
故A可逆并且,由右一半可得逆矩阵A-1=
2、伴随矩阵法
如果矩阵
可逆,则
注意:
中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得
即为求解
的余因子矩阵的转置矩阵。A的伴随矩阵为
,其中Aij=(-1)i+jMij称为aij的代数余子式。
扩展资料:
可逆矩阵的性质定理
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
参考资料:百度百科-逆矩阵
求逆矩阵常用的有两种方法:
伴随阵法:A^(-1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式的值,A*为矩阵A的伴随矩阵。
行初等变换法:(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。
注意:初等变化只用行(列)运算,不能用列(行)运算。E为单位矩阵。
一般计算中,或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵:
1 秩等于行数
2 行列式不为0
3 行向量(或列向量)是线性无关组
4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 作为线性方程组的系数有唯一解
6 满秩
7 可以经过初等行变换化为单位矩阵
8 伴随矩阵可逆
9 可以表示成初等矩阵的乘积
10 它的转置矩阵可逆
11 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变
可逆矩阵的性质
1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
2 可逆矩阵一定是方阵。
3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
求解逆矩阵的举例,对于如下行列式A:(以二阶方阵为例)
|3 0|
|2 1|
对于元素3,其代数余子式是(-1)^(1+1)*1=1;对于元素0,其代数余子式是(-1)^(1+2)*2=-2;对于元素2,其代数余子式是(-1)^(2+1)*0=0;对于元素1,其代数余子式是(-1)^(2+2)*3=3,所以矩阵A的伴随阵A*是:
|1 0|
|-2 3|
而A的行列式|A|=3*1-2*0=3所以A^(-1)=(1/|A|)*(A*)=1/3|1 0|
|-2 3|
行初等变换法 :
因为矩阵A可逆,则逆矩阵A-1可逆(AA-1=E det(AA-1)=detA*detA-1=detE=1 则detA-1!=0)矩阵A经过一系列的初等变换(包括行变换和列变换得到E(需要证明) 证明:(证明前说明一个问题:一个矩阵进行一次行变换相当于左乘一个m阶初等矩阵,进行一次列变换相当于右乘一个n阶初等矩阵(初等矩阵就是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵(初等变换包括三种方式即:交换矩阵某两行,某两列或者将矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列去))那么即是p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E(并不是直接得到E,而是一个只与E和O有关的矩阵,但由于qn,pn的行列式都不为0,则得到的与和O有关的矩阵的行列式不为0,则该矩阵为E,这里说明A必须为n阶矩阵)p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E两边同时乘以pn,qn的逆矩阵)则得到A=pn-1*……p1-1*qn-1*……*q1-1) ,那么同理我们可以将A-1表示为A-1=G1*G2*……Gn,(G1、G2……Gn均为初等矩阵)也可以写成A-1=G1*G2*……Gn*E(因为一个矩阵乘以E还是原矩阵)两边同时右乘A,即A-1*A=G1*G2*……Gn*A,则E=G1*G2*……Gn*A,这就是说E经过一系列行初等变换(就是交换E的两行或者将E的某一行的K倍加到另一行去)得到A-1,而A经过与上面相同的行变换得到E,那么我们可以这样表示(A,E)~一系列行变换~(E,A-1),因此我们可以把A,E放在一起形成一个2n阶矩阵,在经过一系列行初等变换,当A变为E时,E变为A-1.
怎么求一个矩阵的逆矩阵?
2×3阶逆矩阵,一般用下列方法来求:1、Gauss-Jordan变换法:即对增广矩阵A|E,施行初等行变换,化成E|B形式,则最终矩阵B就是A的逆矩阵。2、使用伴随矩阵法:先求出矩阵A的伴随矩阵A*。然后求出行列式|A|,最终即可得到逆矩阵:A^(-1)=A*\/|A|。
如何求矩阵的逆矩阵
首先,需要说明的是,只有方阵才有逆矩阵。即,对于一个非方阵的矩阵,它是没有逆矩阵的。对于一个$n$阶方阵$A$,如果存在一个$n$阶方阵$B$,使得$AB=BA=I$,其中$I$是$n$阶单位矩阵,那么$B$就是$A$的逆矩阵,记为$A^{-1}$。下面介绍如何求$A^{-1}$。方法一:伴随矩阵法 根据...
求逆矩阵的方法
该矩阵的方法有初等行变换法、伴随矩阵法、利用矩阵求逆公式等。1、初等行变换法:通过一系列行的交换、倍乘、加减等基本操作,将矩阵转换为单位矩阵,同时在其左侧得到的就是原矩阵的逆矩阵。2、伴随矩阵法:如果一个矩阵A可逆,其逆矩阵可以通过计算A的伴随矩阵与A的行列式的乘积得到,即A的N的次方...
求逆矩阵的一些方法
例1.1: 若A为可逆矩阵,A×adj(A) = |A|I,逆矩阵存在条件揭晓。2. 初等变换法当矩阵A可逆时,通过初等行变换是求逆的常用手段。例2.1展示了其威力:例2.1: 设A通过初等变换变为单位矩阵,A^-1随之显现。然而,这方法有时会显得繁琐,灵活运用其他方法至关重要。3. 凑矩阵法巧妙拆解...
逆矩阵的求法是什么?
这是线性代数矩阵变换的反序原则,和求矩阵的转置一样,需要把原来矩阵的顺序反过来。下面进行逆推证明:(1)进行证明转换。如果要求AB矩阵的逆矩阵,那么该逆矩阵需要与AB矩阵相乘等于单位矩阵E。(2)运算过程如图 (3)论述得证 矩阵运算与代数运算有着很大区别,在进行矩阵分配运算和平方运算时,矩阵...
如何求矩阵的逆矩阵?
二矩阵求逆矩阵如下图公式:设A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵。典型的矩阵求逆方法有:利用定义求逆矩阵、初等变换法、伴随阵法、恒等变形法等。二阶矩阵的特征值:设A是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得Ax=mx...
线性代数中的逆矩阵是怎么求的?
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。2、伴随矩阵法 代数余子式求逆矩阵:如果矩阵A可逆,则 (|A|≠0,|A|为该矩阵对应的行列式的值)3、初等变换法 方法是一般从左到...
求逆矩阵方法
求逆矩阵的方法主要有两种:初等变换法 首先,将n阶可逆矩阵A和单位矩阵I组合成一个nX2n的矩阵B。通过对A和I进行完全相同的初等行变换,目标是将A转化为单位矩阵I。在这个过程中,B的右半部分会同步得到A的逆矩阵A^-1。伴随矩阵法 如果矩阵A可逆,可以通过计算其伴随矩阵。伴随矩阵的定义中...
如何求矩阵的逆矩阵?
(2)P1P2...PsI=A的负一次方。比较(1)(2)两式,可以看到当A通过初等变换华为单位矩阵的同时,对单位矩阵I作同样的初等变换,就化为A的逆矩阵A的负一次方。这就是初等变换法在求逆矩阵中的应用。它是实际应用中比较简单的一种方法,需要注意的是,在作初等变换时只允许作行初等变换。同样,...
求逆矩阵的方法
1、用伴随矩阵,AA*=|A|E。2、做初等行变换。对矩阵(A,E)做初等行变换(只做初等行变换,不要列变换),把A变成单位阵,右边E的部分变换后的对应逆矩阵。3、做初等列变换。(A;E)是2n×n的矩阵,只做初等列变换。A变成单位阵,对应的E变为逆矩阵。
斋卿复方:[答案] 一般有2种方法. 1、伴随矩阵法.A的逆矩阵=A的伴随矩阵/A的行列式. 2、初等变换法.A和单位矩阵同时进行初等行(或列)变换,当A变成单位矩阵的时候,单位矩阵就变成了A的逆矩阵. 第2种方法比较简单,而且变换过程还可...
垣曲县18956651174: 如何计算可逆矩阵的逆矩阵? - ?
斋卿复方:[答案] 方法一:初等变换(此方法适用于单独给出一个矩阵求逆矩阵,考试中一般矩阵的阶数不会太高的,放心); 方法二:公式变换(抽象矩阵之间的运算,等式左边一坨,右边一坨,比如求A的逆,先把含A的划到等式一边,提取公因式后:B坨 A C...
垣曲县18956651174: 逆矩阵怎么求? - ?
斋卿复方: 最简单的办法是用增广矩阵.如果要求逆的矩阵是A,则对增广矩阵(AE)进行初等行变换,E是单位矩阵,将A化到E,此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵,原理是A逆乘以(AE)=(EA逆)初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的...
垣曲县18956651174: 如何计算两矩阵相加后的逆矩阵 - ?
斋卿复方: 1、先按照矩阵的加法将两矩阵相加,得到一个新的矩阵. 2、之后再求新矩阵的逆矩阵,可以采用初等变换法,即: 求元索为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法'如果A可逆,则A'可通过初等变换,化为单位矩阵 I : 当A通过初...
垣曲县18956651174: 逆矩阵的计算方法? - ?
斋卿复方: 这是计算行列式 一般用行列式的性质结合展开定理 r2-r3 8 6 9 51 1 1 15 8 4 9 10 6 11 4c2-c1,c3-c1,c4-c1 8 -2 1 -31 0 0 05 3 -1 4 10 -4 1 -6按第2行展开D= (-1)^(2+1) * -2 1 -33 -1 4 -4 1 -6r2+r1,r3-r1-2 1 -31 0 1 -2 0 -3按第2列展开D = - (-1)^(1+2) *1 1 -2 -3= -3 + 2= -1.
垣曲县18956651174: 矩阵和逆阵如何求?能不能举些例子 - ?
斋卿复方: 已知矩阵A,求A的逆矩阵一般有三种方法:1,初等变换法,(就是在原来矩阵的右边加上一个同阶的单位阵,然后用初等变换使它的左边变成单位阵,右边的就是逆矩阵了) 例如:已知矩阵A为 2 2 31 -1 0 -1 2 1 求A逆? 解: 2 2 3 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 -1 2 1 0 0 1 可变换为1 0 0 1 -4 3 0 1 0 1 -5 -30 0 1 -1 6 4则A逆就是后面的 1 -4 31 -5 -3-1 6 42,公式法,A逆=A的伴随矩阵除以A的行列式(符号没法打出来,因该想起来这个公式了吧)3,AB=E,则B是A的逆矩阵(长用于求不给出具体矩阵的题)
垣曲县18956651174: 求矩阵的逆矩阵的方法 - ?
斋卿复方: 两种方法: 1、A逆=A*/|A|,A*为A的伴随矩阵 2、初等变换,E是单位阵 将AE放在一起组成一个2n*n的大矩阵,用初等行变换,将A变成单位阵,此时,E就会变成A的逆.(注意,这里只能用行变换)
垣曲县18956651174: 怎么求逆矩阵都忘了,说点实用的方法,只需要2x2和3x3的方法 - ?
斋卿复方:[答案] A^(-1)=(1/|A|)*A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵. 求解伴随矩阵即A*=adj(A):去除 A的行列式D中 元素aij 对应的第j行和第i列得到的新行列式D1代替 aij 二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换,副对...
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斋卿复方: 矩阵求值=10*4-6*6=4 矩阵求伴随为4 -6-6 10 (主对角线互换,非主对角线加负号)) 再求逆矩阵,伴随矩阵除以矩阵值,结果是 1 -3/2 -3/2 5/2
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