求逆矩阵方法

求逆矩阵的方法~

求逆矩阵的方法，进来学一下吧

1、初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

 

对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。

如求

 

的逆矩阵A-1。

故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵A-1=

2、伴随矩阵法

如果矩阵

可逆，则

注意：

 

中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得

即为求解

 

的余因子矩阵的转置矩阵。A的伴随矩阵为

 

，其中Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式。

扩展资料：

可逆矩阵的性质定理

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

参考资料：百度百科-逆矩阵

　　求逆矩阵常用的有两种方法：

1. 伴随阵法：A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式的值，A*为矩阵A的伴随矩阵。

2. 行初等变换法：(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。

   注意：初等变化只用行（列）运算，不能用列（行）运算。E为单位矩阵。

3. 一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵：

   1 秩等于行数

   2 行列式不为0

   3 行向量(或列向量)是线性无关组

   4 存在一个矩阵，与它的乘积是单位阵

   5 作为线性方程组的系数有唯一解

   6 满秩

   7 可以经过初等行变换化为单位矩阵

   8 伴随矩阵可逆

   9 可以表示成初等矩阵的乘积

   10 它的转置矩阵可逆

   11 它去左(右)乘另一个矩阵，秩不变

4. 可逆矩阵的性质

   1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。

   2 可逆矩阵一定是方阵。

   3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。

   4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。

   5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

   6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。

   7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

5. 求解逆矩阵的举例，对于如下行列式A：（以二阶方阵为例）

   |3 0|

   |2 1|

   对于元素3，其代数余子式是（-1）^(1+1)*1=1；对于元素0，其代数余子式是（-1）^(1+2)*2=-2；对于元素2，其代数余子式是（-1）^(2+1)*0=0；对于元素1，其代数余子式是（-1）^(2+2)*3=3，所以矩阵A的伴随阵A*是：

   |1      0|

   |-2    3|
   而A的行列式|A|=3*1-2*0=3所以A^（-1）=(1/|A|)*(A*)=

   1/3|1    0|

             |-2   3|

　　行初等变换法 :
　　因为矩阵A可逆，则逆矩阵A-1可逆（AA-1=E det(AA-1)=detA*detA-1=detE=1 则detA-1!=0）矩阵A经过一系列的初等变换（包括行变换和列变换得到E(需要证明) 证明：（证明前说明一个问题：一个矩阵进行一次行变换相当于左乘一个m阶初等矩阵，进行一次列变换相当于右乘一个n阶初等矩阵（初等矩阵就是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵（初等变换包括三种方式即：交换矩阵某两行，某两列或者将矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列去））那么即是p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E(并不是直接得到E,而是一个只与E和O有关的矩阵，但由于qn，pn的行列式都不为0，则得到的与和O有关的矩阵的行列式不为0，则该矩阵为E，这里说明A必须为n阶矩阵)p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E两边同时乘以pn，qn的逆矩阵）则得到A=pn-1*……p1-1*qn-1*……*q1-1） ，那么同理我们可以将A-1表示为A-1=G1*G2*……Gn，(G1、G2……Gn均为初等矩阵)也可以写成A-1=G1*G2*……Gn*E(因为一个矩阵乘以E还是原矩阵)两边同时右乘A,即A-1*A=G1*G2*……Gn*A,则E=G1*G2*……Gn*A,这就是说E经过一系列行初等变换（就是交换E的两行或者将E的某一行的K倍加到另一行去）得到A-1,而A经过与上面相同的行变换得到E,那么我们可以这样表示（A,E）~一系列行变换~（E,A-1），因此我们可以把A,E放在一起形成一个2n阶矩阵，在经过一系列行初等变换，当A变为E时，E变为A-1.

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垣曲县18956651174： 求逆矩阵有几种方法? - ？
斋卿复方：[答案] 一般有2种方法. 1、伴随矩阵法.A的逆矩阵=A的伴随矩阵/A的行列式. 2、初等变换法.A和单位矩阵同时进行初等行(或列)变换,当A变成单位矩阵的时候,单位矩阵就变成了A的逆矩阵. 第2种方法比较简单,而且变换过程还可...

垣曲县18956651174： 如何计算可逆矩阵的逆矩阵? - ？
斋卿复方：[答案] 方法一:初等变换(此方法适用于单独给出一个矩阵求逆矩阵,考试中一般矩阵的阶数不会太高的,放心); 方法二:公式变换(抽象矩阵之间的运算,等式左边一坨,右边一坨,比如求A的逆,先把含A的划到等式一边,提取公因式后:B坨 A C...

垣曲县18956651174： 逆矩阵怎么求? - ？
斋卿复方： 最简单的办法是用增广矩阵.如果要求逆的矩阵是A,则对增广矩阵(AE)进行初等行变换,E是单位矩阵,将A化到E,此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵,原理是A逆乘以(AE)=(EA逆)初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的...

垣曲县18956651174： 如何计算两矩阵相加后的逆矩阵 - ？
斋卿复方： 1、先按照矩阵的加法将两矩阵相加,得到一个新的矩阵. 2、之后再求新矩阵的逆矩阵,可以采用初等变换法,即: 求元索为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法'如果A可逆,则A'可通过初等变换,化为单位矩阵 I : 当A通过初...

垣曲县18956651174： 逆矩阵的计算方法? - ？
斋卿复方： 这是计算行列式 一般用行列式的性质结合展开定理 r2-r3 8 6 9 51 1 1 15 8 4 9 10 6 11 4c2-c1,c3-c1,c4-c1 8 -2 1 -31 0 0 05 3 -1 4 10 -4 1 -6按第2行展开D= (-1)^(2+1) * -2 1 -33 -1 4 -4 1 -6r2+r1,r3-r1-2 1 -31 0 1 -2 0 -3按第2列展开D = - (-1)^(1+2) *1 1 -2 -3= -3 + 2= -1.

垣曲县18956651174： 矩阵和逆阵如何求?能不能举些例子 - ？
斋卿复方： 已知矩阵A,求A的逆矩阵一般有三种方法:1,初等变换法,(就是在原来矩阵的右边加上一个同阶的单位阵,然后用初等变换使它的左边变成单位阵,右边的就是逆矩阵了) 例如:已知矩阵A为 2 2 31 -1 0 -1 2 1 求A逆? 解: 2 2 3 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 -1 2 1 0 0 1 可变换为1 0 0 1 -4 3 0 1 0 1 -5 -30 0 1 -1 6 4则A逆就是后面的 1 -4 31 -5 -3-1 6 42,公式法,A逆=A的伴随矩阵除以A的行列式(符号没法打出来,因该想起来这个公式了吧)3,AB=E,则B是A的逆矩阵(长用于求不给出具体矩阵的题)

垣曲县18956651174： 求矩阵的逆矩阵的方法 - ？
斋卿复方： 两种方法: 1、A逆=A*/|A|,A*为A的伴随矩阵 2、初等变换,E是单位阵 将AE放在一起组成一个2n*n的大矩阵,用初等行变换,将A变成单位阵,此时,E就会变成A的逆.(注意,这里只能用行变换)

垣曲县18956651174： 怎么求逆矩阵都忘了,说点实用的方法,只需要2x2和3x3的方法 - ？
斋卿复方：[答案] A^(-1)=(1/|A|)*A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵. 求解伴随矩阵即A*=adj(A):去除 A的行列式D中 元素aij 对应的第j行和第i列得到的新行列式D1代替 aij 二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换,副对...

垣曲县18956651174： 两行两列的矩阵怎么求逆矩阵? - ？
斋卿复方： 矩阵求值=10*4-6*6=4 矩阵求伴随为4 -6-6 10 (主对角线互换,非主对角线加负号)) 再求逆矩阵,伴随矩阵除以矩阵值,结果是 1 -3/2 -3/2 5/2

垣曲县18956651174： 单个列向量矩阵的逆怎么求 - ？
斋卿复方： 单个列向量矩阵不可求逆.因为可逆矩阵一定是方阵,单个列向量矩阵不是方阵,不存在逆矩阵. 逆矩阵的性质 1、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的. 2、A的逆矩阵的逆矩阵还是A. 3、可逆矩阵A的转置矩阵也可逆, 且转置的逆等于...