高中数学竞赛试题及答案2009安徽

2008、2009年全国高中数学竞赛安徽赛区初赛试题及答案 必须有答案，否则不收！！！~

必须给我下好，看到这几字就引起我骂人的欲望，你是一堆屎，哥答题不是为了百度的分，百度的分一文不值

2011年全国高中数学联赛江西省预赛
试 题

一、填空题（每小题10分，共 分）
、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．
、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．
、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 ．
、设 ，则函数 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 ．
、满足 的一组正整数 ．
、用 表示正整数 的各位数字之和，则 ．
二、解答题（共 题，合计 分）
、（20分）、设 ，且满足： ，求 的值．













、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是
的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点．










、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．










解 答

、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．）
、 ． 提示：由条件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
于是
；
由此得
.



、 ．提示：设 ，则

，
直线 方程为
，
即 ，因为 ，则
，
即
，
代人方程得
，
于是点 在直线 上；
同理，若设 ，则 方程为
，
即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
当 ，即 时取得等号．
、 ．提示：


．
、 ．提示：作三棱锥侧面展开图，易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，则
．
、 ．提示：由于 是 形状的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得
，
即
. ①
而 为偶数，则 为奇数，设 ，则
，
由①得，
， ②
则 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为
，
即 ，于是 ；
若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ，即 ，它无整解；
于是 是唯一解： ．
（另外，也可由 为偶数出发，使

为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可．）

、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ，
这样，所有三位数的首位数字和为
.
再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，
又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知
．
今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得


所以

，
即
，
所以
．

、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心，则
.
连 ，在 中，由于切线 ，所以
，
因此 三点共线，即有 三线共点．
、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使
, ①
于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶．
如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成：
，
令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数．
总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①，
, ②
现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．
、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；
为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ；
因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．
但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态，即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 个点的颜色不变．
现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；
于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”，白点赋值为“ ”，证法便完全相同）．

　　2007年安徽省潜山中学高中数学竞赛试题

　　一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

　　1. 1、函数的最大值是（ ）

　　A、2 B、 C、 D、3

　　2. 已知，定义，则（ ）

　　A． B． C． D．

　　3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为 （ ）

　　A． B． C． D．

　　4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（ ）

　　A、 B、3 C、 D、2

　　5. 已知（R），且 则a的值有 （ ）

　　（A）个 （B）个 （C）个 （D）无数个

　　6. 平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对 （ ）

　　A．不存在 B．至少有一个 C．至多有一个 D．恰有一个

　　二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

　　7. 不等式的解集为，那么的值等于__________.

　　8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.

　　9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为_______________的数列也是等比数列．

　　10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是

　　11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．

　　12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围

　　三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）

　　13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量

　　(1) 求的取值范围;

　　（2）若试确定实数的取值范围.

　　14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC

　　把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.

　　15. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率.

　　16. 在数列中，

　　（Ⅰ）试比较与的大小；

　　（Ⅱ）证明：当时，.

　　参考答案：

　　1.B

　　2. 解：计算

　　可知是最小正周期为6的函数。即得，所以＝，故选C.

　　3.B

　　4.B

　　5. D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有

　　．

　　所以当，且时，恒有．

　　由于不等式的解集为，不等式

　　的解集为．因此当时，恒有

　　. 故选（D）．

　　6.B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]，

　　三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B.

　　7.

　　8. ＝2005

　　9.

　　10. 36π

　　11. 390

　　12. 简解：设B点坐标为（y21–4,y1），C点坐标为(y2–4,y)
　　显然y21–4≠0，故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x，注意到y≠y1 得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.
　　当y=0时，点B的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点B的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.

　　13. 【标准答案】

　　解：因为

　　所以，由正弦定理，得，

　　即又所以即

　　.

　　(1)=

　　因此的取值范围是

　　(2)若则,

　　由正弦定理，得

　　设=,则,

　　所以

　　即

　　所以实数的取值范围为

　　14. （I）证明：依题意知：

　　（II）由（I）知平面ABCD

　　∴平面PAB⊥平面ABCD.

　　在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，

　　设MN=h

　　则

　　要使

　　即M为PB的中点.

　　（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

　　则A（0，0，0），B（0，2，0），

　　C（1，1，0），D（1，0，0），

　　P（0，0，1），M（0，1，）

　　由（I）知平面，则

　　的法向量。

　　又为等腰

　　因为

　　所以AM与平面PCD不平行.

　　15. 解： 如图, 设线段 的中点为 ．过点 、、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、、, 则

　　．假设存在点 ，则 ， 且 ， 即

　　，

　　所以，．

　　于是，， 故

　　．

　　若 (如图)，则

　　.

　　当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, ． 故 为正三角形.

　　若 ，则由对称性得

　　．

　　又 , 所以，椭圆 的离心率 的取值范围是， 直线 的斜率为 ．

　　16. 解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有

　　，

　　（Ⅱ）证法1：由已知得，

　　又.

　　当时，

　　设 ①

　　则 ②

　　①-②，得

　　证法2：由已知得，

　　（1） 当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么

　　要证 ，只需证

　　即证 ，则只需证………………10分

　　因为成立，所以成立.

　　这就是说，当时，不等式仍然成立.

　　根据（1）和（2），对任意，且，都有

　　只有这个了！
　　Hope To Help You!

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冷水江市15930194418： 2009年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷？
正谭咪喹： http://www.21cnjy.com/SoftShow.asp?softchannelid=3&softid=137582&classid=33437 自己去下载吧!

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冷水江市15930194418： 2010 全国高中数学联赛初赛各省试题及答案？
正谭咪喹： 感觉没有出版书籍吧,初赛,太多了. 现在能找到几份 2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则 . http://wenku.baidu.com/view/83f891d233d4b14e85246875.html 2010全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(含解析)http://wenku.baidu.com/view/22917369a45177232f60a2bf.html 2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题http://wenku.baidu.com/view/5a0b40eeaeaad1f346933fdd.html

冷水江市15930194418： 2009年4月5日全国数学竞赛答案？
正谭咪喹：http://wenwen.soso.com/z/q126298773.htm 这里有详细解答 太长了,我不复制了,自己看吧 一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填,多填或错填都的0分)1、已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b2 +4=2a,则a+b等于( )A、-1 B、0 C、1 D、2解 有题设知a≥3,题设等式化为|b+2|+(a-3)b2 =0,于是a=3,b=-2,从而a+b=1,选C

冷水江市15930194418： 急求2009年的全国数学竞赛答案!!!急!!？
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冷水江市15930194418： 4道数学竞赛题..求详细解答 - ？
正谭咪喹： 糊涂了..1、可分正三角形说明了这个平行四边形的四个角分别为60°,120°,60°,120°. 以92个正三角形成一排拼成平行四边形为例,这是平行四边形的周长=46+1+46+1=94. 排成两排则...

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正谭咪喹： 2009=7*7*41(质因数分解)2009=1*2009差值2008 2009=41*49差值8

冷水江市15930194418： 2009年安徽高考数学试题 - ？
正谭咪喹： D,分母是15*15,结合答案分母是75,显然分子很小,且是3的倍数,只要数一下有几组平行即可.