圆周角定理的定理证明

~ 已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

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原发布者:yanzhiyong81
圆周角定理内容提要：⑴在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；如图所示，若∠ACD=∠BDC，则：∵∴∠ADB=∠ACB⑵在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；如图所示，∠AOB=2∠C⑶半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。如图所示，①∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°②∵∠D=90°，∴AB为⊙O的直径。圆周角定理关键字：圆周角定理注意：⑴圆周角定理研究的是同圆或等圆中，圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系；⑵圆周角定理与圆心角定理之间的区别与联系。思考：①在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等吗？为什么？②你能证明“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”吗？试一试。例题精析：例1、在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角为（）．（A）60°或120°（B）30°或120°（C）60°（D）120°例2、如图，等腰三角形中，，顶角为，以其一腰为直径作半圆分别交、于、，求的度数.例3、如图，已知：在⊙中，弦，于，求证：.例4、如图，为⊙的直径，为弦，为延长线上一点，且，的延长线交⊙于，求证：例5、如图，已知：内接于⊙，、在边上，且，，求证：例6、如图，中，是⊙的弦，交⊙于，作的外角平分线交⊙于，连.求证：.

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
图1
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
图2
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.
图3
扩展资料：
定理推论
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
6.等弧对相等的圆周角。(因为相等的弧只有一个圆心角)
注意:在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

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新邱区15734392725： 叙述并证明圆周角定理. - ？
喻琳健脑：[答案] 解析: 叙述:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知:∠BAC是圆O的圆周角,∠BOC是圆O的圆心角. 求证:. 证明:分三种情况讨论. (1)下图中,圆心O在∠BAC的一边上. . ...

新邱区15734392725： 圆周角定理是什么 - ？
喻琳健脑： 圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半. 圆周角定理的推论: 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧. 半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧的半圆,所对的弦是直径. 若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 扩展资料当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时: ∵OA、OC是半径 解:∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO(等边对等角) ∵∠BOC是△AOC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 参考资料来源:百度百科-圆周角定理

新邱区15734392725： 圆周角定理怎么证明急 - ？
喻琳健脑：[答案] 圆周角度数定理的另一种证明方法圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理,它是解决和圆有关的角的问题的重要依据,这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法,这种证明方法主要用的是外角方面的知识,老师们在...

新邱区15734392725： 请用科学的方法证明圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. - ？
喻琳健脑：[答案] 证明:①如图(1),当点O在∠BAC的一边上时, ∵OA=OC, ∴∠A=∠C, ∵∠BOC=∠A+∠C, ∴∠BAC= 1 2∠BOC; ②如图(2)当圆心O在∠BAC的内部时,延长BO交 O于点D,连接CD,则 ∠D=∠A(同弧或等弧所对的圆周角都相等), ∵...

新邱区15734392725： 利用圆周角定理的推论证明:一条边上的中线等于这条边的一般的三角形是直角三角形 - ？
喻琳健脑：[答案] 证明: 以任意的一条线段为直径做圆, 以圆上的任意一点为顶点, 并分别连接这一点与直径的两个端点. 由圆周角定理可知, “以直径为弦的圆周角为90度”, 又因为圆心是此直角三角形斜边(直径)的中点, 所以.

新邱区15734392725： 圆周角定理的三个推论那三个推论都是什么啊. - ？
喻琳健脑：[答案] 圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.其他推论 ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 ②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的...

新邱区15734392725： 圆周角定理证明:当圆心O在∠BAC的外部时怎么证明.如图,如题  .已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC.  提问者... - ？
喻琳健脑：[答案] 证明:∵OC=OA ∴∠OCA=∠CAO ∵OB=OA ∴∠OBA=∠OAB ∴∠DOC=∠OCA+∠CAO=2∠CAO ∴∠DOB=∠OBA+∠OAB=2∠OAB ∴∠DOC-∠DOB=∠BOC=2∠CAO-2∠OAB=2(∠CAO-∠OAB)=2∠BAC ...

新邱区15734392725： 教科书中圆周角定理的证明为什么要分三种情况讨论 - ？
喻琳健脑：[答案] 当圆周角的一边过圆心时,通过半径相等,很容易得到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半, 然后再利用第一种的结论来分类: 当圆心在角的内部与圆心在角的外部, 这样把所有情况都包括了.

新邱区15734392725： 定理的证明试证明＂在圆中,一条弦所对的两个圆周角互补＂ - ？
喻琳健脑：[答案] 证明:因为圆本身是360度,又因为圆周角等于它所对弧度的一半.而一条弦所对的两个圆周角正好是整个圆的弧度,所以它们的和是整个圆弧度的一半,即180度.所以一条弦所对的两个圆周角互补.

新邱区15734392725： 圆周角度数定理 - ？
喻琳健脑： 先作一个圆,再以圆的直径为一边做一个圆周角,设圆心为o,直径与圆的2个交点为b、c,点a为三角形abc上的另一个点,与圆相交于点a,图就自己画一下 证明:连接ao,因为圆的半径相等 所以oa=ob=oc 所以三角形oab与三角形oac为等腰三角形,角oba=角oab,角oac=角oca 角bac=角oab+角oac =(180度-角aob)/2+(180度-角aoc)/2 =(180度-角aob)/2+[180度-(180-角aob)/2 =(180度-角aob)/2+(180度-180+角aob)/2 =(180度-角aob+180度-180度+角aob)/2 =180度/2 =90度 不清楚再问我