关于圆的所有定理，请列出：

帮忙列出关于圆的所有定理~

关圆的知识及例题




作者：龙 转贴自：本站原创




圆内接三角形的一个性质及应用

五方向 王永梅

性质：三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积。

已知圆O是△ABC的外接圆，AD是边BC上的高，AE是圆O的直径。

求证：AB·AC=AD·AE。

证明：如图1所示，连结BE，则有



图1



又AD上是边BC上的高，

所以

故

即

因此，AB·AC=AD·AE。

该性质应用非常广泛，巧妙地应用此性质解题，能简化解题过程。现举例说明如下：

1. 证明等积式

例1. 如图2所示，已知AB为圆O的一条弦，C、D在圆O上且在AB的同侧，求证：AD·BD·CE=AC·BC·DF。



图2

证明：设圆O的直径为d，则

AD·BD=DF·d

AC·BC=CE·d

两式相乘得

AD·BD·CE·d=AC·BC·DF·d

即


2. 证明比例式

例2. 已知圆O的内接四边形ABCD的对角线BD平分AC于E。求证；。

证明：如图3所示，分别过点A、C作。



图3

设圆O的直径为d，则




3. 证明定值

例3. 两圆相交于两点A、B，经过交点B的任意一直线和两圆分别相交于点C、D。求证：AC与AD的比为定值。

证明：如图4所示，连结AB，过A作



图4

设圆O1、圆O2的直径分别为，则，两式相除，得（为定值）。


4. 求函数式

例4. 如图5所示，已知圆O的内接△ABC中，AB+AC=12，且AD=3。设圆O的半径为y，AB的长为x。求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。



图5

解：连结AO，并延长交圆O于E，则



因为△ABD、△ACD均为直角三角形，且

AD=3，所以



即自变量x的取值范围是。


练习：

已知AC、BD是圆O的内接四边形的两条对角线，且。

求证：是定值。



例谈圆的动态变化

刘瑞华 吕华彬


随着新课程的实施和素质教育的不断深入，一些与几何有关的动态变化题在各省市中考题中频频出现，已成为近两年中考数学的热点之一。解此类题要求认真阅读、观察、对比、推理和归纳，下面以圆的几种动态变化题为例予以说明。

一、位置关系发生变化

1. 两圆位置关系发生变化

例1. 如图1，⊙、⊙外切于点P，A是⊙上一点，直线AC切⊙于点C，交⊙于点B，直线AP交⊙于点D。



（1）求证：PC平分BPD；

（2）将“⊙、⊙外切于点P”改为“⊙、⊙内切于点P”，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的结论。



分析：由两圆相切可联想到作两圆的公切线，再利用弦切角定理、切线的性质定理和三角形内角和定理的推论可证得本题结论。第2问（1）中的结论仍然成立，证明过程留给大家思考完成。

2. 圆中点的位置发生变化

例2. 如图3，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线，交BA的延长线于点C。



（1）当时，请你对的形状做出猜想，并给出证明；

（2）当时，的形状是________三角形；

（3）由（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，无论当点P在线段AM上运动到任何位置时，一定是________三角形。

分析：由题设条件容易联想到连结圆心和切点，构造直角三角形，再利用三角形内角和定理的推论和切线的性质求解。

二、圆的滚动

圆的滚动类问题大致可分为三类：一是圆在直线上滚动，二是圆在折线上滚动，三是圆在曲线（一般指圆或圆弧）上滚动。圆在不同的线上滚动会产生不同的情况，下面以圆在直线上滚动举例说明。

例3. 如图4，一枚直径为d的硬币沿着直线l滚动一圈，硬币的中心经过的距离是多少？



分析：圆从点A开始按顺时针方向沿直线l滚动一周到点B，线段AB的长度显然与圆的周长相等，即，因直线l与圆相切，故圆心经过的距离。

请同学们想一想，若该硬币从点A开始沿直线l按顺时针方向滚动n圈，圆心经过的距离是多少？

三、圆的扩张

例4. 如图5，等边三角形ABC的边长为6，若以点C为圆心的⊙C的半径r发生变化，从⊙C与各边的公共点个数之和n和r的取值范围考虑，有哪些情况？写出各种情况下n的值及相应r值的取值范围。



分析：作等边三角形ABC的高CD，可求得，于是r的讨论范围为，或（2）当r=6或

n=4。



同心圆的一组性质及应用

贾继荣


性质：

1. 同心圆中与小圆相切的大圆的弦被切点平分；

2. 同心圆中与小圆相切的大圆的弦都相等。

利用这两个结论，可以提示我们计算和证明同心圆中与特殊弦有关的问题。结论的具体证明过程请同学们自行完成。


例1. 如图1，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于D和E，直线MN和大圆切于点A。



图1

求证：（1）；

（2）MN‖BC。

证明：（1）∵大圆的弦AB、AC与小圆分别切于D、E，由结论1，得：

AD=DB，AE=EC。

∴DE是△ABC的中位线，

∴。

（2）由结论2可得AB=AC，

∴∠B=∠C

∵MN与大圆相切于A，

∴∠MAB=∠C

∴∠B=∠MAB

∴MN‖BC。


例2. 如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B为大圆上任意两点，过A、B作小圆的割线ACD和BEF。



图2

求证：AC·AD=BE·BF

证明：过A、B分别作与小圆相切于M、N的大圆的弦AG、BH。

由“结论1、2”易知AM=BN。①

根据切割线定理，得

②

由①、②可证：AC·AD=BE·BF。



圆和正多边形点精

李晓洁


对于“圆和正多边形”这一单元的学习要求主要有：理解圆和正多边形的关系，了解正多边形的有关概念，能利用所学知识进行正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长、面积等有关的计算。中考单独考查正多边形主要有计算、作图、镶嵌、叠放、补形等问题。而在解有关圆和正多边形的问题时，尤其要注意向有关三角形特别是直角三角形问题的转化。由正多边形的半径、边心距及边长构成的直角三角形，是解决正多边形的有关计算问题的基本图形，它集中反映出了正多边形各元素间的关系，而弦心距恰好就是正多边形和圆之间的桥梁。


例1. 高为3的正三角形的内切圆半径是__________，外接圆半径是__________，边长是__________，面积是__________，外接圆的外切正三角形的边长是__________。

解：如图1，O为正三角形ABC的中心，设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，则R=AO=2OD=2r。由AD=3，得AO=2，故R=2，且r=1。在Rt△ODB中，OB=R=2，易得，BC，故，因△EFG∽△ABC，且OB、OD分别为△EFG和△ABC的边心距，故，得GF。



图1

评注：由正多边形的对称性，易知点O为正三角形ABC的外接圆和内切圆的公共圆心。由于边数相同的正多边形均相似，所以在这些正多边形的有关对应线段或面积的计算时，常用相似比来联系。


例2. 已知正六边形中，两条互相平行的对边间的距离为d，求正六边形的面积。

解：如图2，易得边心距。



图2

∵∠AOB=60°，且OA=OB，∴△OAB是正三角形。

∴。

∴。

∴

评注：在有关正多边形的题目中，由正多边形的对称性可知正多边形的中心是一个特殊的极有价值的点，它可以和任何一条正多边形的边形成一个等腰三角形，并且这个等腰三角形的底边（正多边形的边）以及这个等腰三角形的三个内角（通过正多边形内角计算）均可以求得。


例3. 如图3，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，以AB为直径的半圆与⊙O的围成的阴影部分的面积为S1，如果正方形ABCD的面积为S，请判断S1与S之间具有怎样的关系，并说明理由。



图3

解：设⊙O的半径为R，弦AB与所围成的弓形面积为S2，易知∠AOB=90°，故。。

∵，

∴。

∴

又。

由

评注：对于数量关系探求型问题，有时可通过观察图形猜测，然后证明。本例需要通过计算获得的结果来确定数量关系。解题中运用了面积割补的方法。


例4. 已知边长为2的正方形内有5个全等的正八边形，如图4排列，求正八边形的边长。

解：设正八边形的边长为x，如图4。



图4

因△ADE为等腰直角三角形，DE=x，故x，

故。

又EF=GH=LM=x

∴



解得，即正八边形的边长为。

评注：在圆和正多边形的问题中，关键是转化思想的运用，如化复杂图形为简单图形，化多边形的问题为三角形的问题。




两圆外切的性质与应用

孙建洪

两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆位置关系中比较重要的一种关系，它具有的性质较多。


性质（1） 外切两圆的连心线必经过它们的切点，且两个圆心之间的距离d（圆心距）

等于两个圆的半径之和，即d=R+r

两圆外切，其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线，也就是说，

两个圆心及切点这三点共线。

例1 若两圆半径分别为R，r(R＞r)，其圆心距为d,且 ，则两圆的位置关系是__________.

解：因为

所以

所以

所以d=R+r(R+r=-d不合题意).

因此两圆的位置关系是外切.

二、外切的两圆，共有三条公切线，其中两条是外公切线，一条是内公切线，内公切线过两圆的切点且垂直于它们的连心线。

如图1，半径为r、R的⊙⊙外切，外公切线AB分别切⊙⊙于A、B，那么AB就是外公切线长。连，由切线性质知

可证得四边形ABCD为矩形，得



，

因此，，

而在RtΔ





性质(2) 外公切线长等于


两圆外切,经常添的辅助线是内公切线,因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角,可将两圆的元素联系起来.

性质(3) 添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙.

例2 已知如图2, ⊙⊙外切于点C,PA切⊙于点A,交⊙于点P、D，直接PC交⊙于点B。

求证：AC平分∠BCD。

解：过C作⊙⊙的内公切线`MN交AP于M，所以∠MCD=∠P.

又PA切⊙于点A,

所以∠MAC=∠ACM,

所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA.

即AC平分∠BCD.

四.看下一例:如图3, ⊙⊙外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,求证为直角三角形.



解:过P作内公切线交AB于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知为直角三角形.

此题中AB为外公切线与两圆的切点,P为两圆切点.

我们习惯上把称为切点三角形.

在关于两圆外切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要.

性质(4) 切点三角形是直角三角形.

例4(重庆市中考题)如图4, ⊙⊙外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是⊙⊙上的切点)相交于点C,已知⊙⊙的半径分别为3、4,则PC的长等于________.



分析:由于AB为外公切线,由性质(2)知



又由性质(4)知为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP为斜边AB上的中线,因此


例5.如图5, ⊙⊙外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,连心线

⊙于C,交⊙于D,CA与DB的延长线相交于Q,求证:.



简析：连AP、BP,由上题知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四边形内角和定理知∠Q=Rt∠,即

两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4、例5中的切点三角形并不是现成有的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象,才能举一反三,触类旁通.


旁切圆的性质及应用

杨惠珍


三角形的旁切圆是指与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，它的有关性质在中考和竞赛题中经常用到，但课本中几乎没有涉及，这给解题增添了不少麻烦。下面就来谈谈旁切圆的有关性质及应用。


1. 性质

如图1，⊙O切BC边于D，切AB、AC的延长线于E、F，那么：



图1

（1）OD=OE=OF；

（2）；

（3）。

事实上其逆命题也成立：

（4）如果O为∠A平分线上的一点，且

，

那么O为△ABC的旁切圆圆心（旁心）。

（5）如果O为∠A平分线上一点，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，且，那么O为△ABC的旁切圆圆心（旁心）。

对于逆命题的证明如下：

如图2，过点O作OD⊥BC于D。



图2

因为O在∠A平分线上，

OE⊥AB，OF⊥AC，

所以 OE=OF。

在AC的延长线上截取FM=BE，

所以 Rt△BEO≌Rt△MFO，

所以。

因为 ，

又，

所以 ，

即 ，

所以 ∠BOC=∠COM，△BOC≌△MOC，

（若BE+CF=BC，即BC=CM，则也全等）

所以 ，

即 O在∠EBC的平分线上，

所以 O为△ABC的旁心。


2. 应用

例1. 如图3，EG、FG分别为∠MEF和∠NFE的平分线，交点为G，PB、PC分别为∠MBC和∠NCB的平分线，交点为P，如果∠G=60°，则∠P度数为________。



图3

解：因为G是∠MEF和∠NFE平分线交点，所以

G为△AEF的旁心，同理 P为△ABC旁心，

由性质（2），知

。


例2. 如图4，在正方形ABCD中，AB=1，是以B为圆心，AB为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。



图4

（1）当∠DEF=45°时，

求证：G为线段EF中点。

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式并写出自变量取值范围。

解：（1）因为⊙B与△DEF两边延长线EA、FC及第三边EF都相切，

所以 ⊙B为△DEF旁切圆，

AE=EG，FC=GF，

因为 ∠DEF=45°，∠D=90°，

所以 ∠DFE=45°

即 DE=DF，

故AE=FC，即EG=GF

（2）由于⊙B为△DEF旁切圆，由性质（3），得

，

因为 ，

由勾股定理，知

，

化简，得


例3. 如图5，梯形ABCD中，AD‖BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，E在DC上，AE、BC的延长线交于F，若AE=10，求。



图5

解：过B作BG⊥DA，垂足为G，显然BCDG为正方形，

BG=BC=12。

由此，知B在∠D的平分线上，

又。

由性质（4），得 B为△AED的旁切圆圆心，

根据性质（3），知 AG+EC=AE。

设AG=a，EC=b，则

a+b=10 ①

由AD2+DE2=AE2，得

②

由①、②，得

由Rt△ADE∽Rt△FCE，可求得

FC=3或FC=8，

所以

=54

或。


例4. 如图6，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，与AB交于M，与AC交于N，连结MN。求证：△AMN的周长为2。



图6

解：由题设易知∠ABD=∠ACD=90°，且DB=DC，

故D是∠A平分线上一点。

又 。

故 D为△AMN的旁心。

由性质（3），知MN=BM+NC，

所以 △AMN的周长=AM+AN+MN

=AM+AN+MB+NC=2AB=2。


例5. 如图7，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形面积为__________。



图7

解：由题设条件DE⊥AE，AB⊥BC，且AB=AE=1，联想到三角形旁切圆的性质，延长BC、ED交于点M，则有

A是∠DMC平分线上一点，

又 DC=DE+CB，

由性质（5），知 A为△DMC的旁切圆圆心，

过A作AH⊥DC，

由性质（1），知 AH=AB=AE=1，

又 BC+DE=CD，

所以

。


贴不上图 看原来的吧http://210.39.43.135/Article_Print.asp?ArticleID=211

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．
2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．
圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）
切线长定理
垂径定理
圆周角定理
弦切角定理
四圆定理
3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．
7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
9.圆的两条平行弦所夹的弧相等
10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.
(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.
12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.
14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.
15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.
16.同一个弧有无数个相对的圆周角.
17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.
18.圆的内接四边形的对角互补或相等.
19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.
20.直径是圆中最长的弦.
21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.

1 圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

2 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

3 垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等

4 切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6 公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7 相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8 切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9 割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角。
11 (d是圆心到直线的距离，r是半径)
①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
12切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
13圆的外切四边形的两组对边的和相等
14弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
15 (d是圆心距，R、r是半径)
①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
16定理： 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
17定理： 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
18定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
19正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
20定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
21正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
22正三角形面积√3a／4 a表示边长
23如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
24弧长计算公式：L=n兀R／180
25扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
26内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角等于所夹弧所对的圆周角
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
切线的性质与判定定理
（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵mn⊥oa且mn过半径oa外端
∴mn是⊙o的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
圆内相交弦定理及其推论：
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等
即：在⊙o中，∵弦ab、cd相交于点p
∴pa·pb=pc·pa
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦

圆的解析几何方程
　　圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。 　　圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。 　　圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 　　圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 　　圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 　　经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r^2 　　在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2
圆与直线的位置关系判断
　　平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 　　1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 　　如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 　　如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 　　如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 　　2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 　　当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离； 　　当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交； 　　半径r，直径d 　　在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 　　x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 　　=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F 　　=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 　　其实只要保证X方Y方前系数都是1 　　就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 　　这可以作为一个结论运用的 　　且r=根号（圆心坐标的平方和-F）
编辑本段圆知识点总结
　　定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 　　（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 　　圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 　　（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 　　（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 　　（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 　　注：圆心一般用字母O表示 　　直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 　　半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 　　圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。 　　圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 　　圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 　　圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 　　圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 　　直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 　　圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr²，用字母S表示。 　　一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 　　周长计算公式 　　1.、已知直径：C=πd 　　2、已知半径：C=2πr 　　3、已知周长：D=c/π 　　4、圆周长的一半:1/2周长(曲线) 　　5、半圆的周长：1/2周长+直径（π÷2+1）
圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等
切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角。
(d是圆心到直线的距离，r是半径)
①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
圆的外切四边形的两组对边的和相等
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
(d是圆心距，R、r是半径)
①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
定理： 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
定理： 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
正三角形面积√3a／4 a表示边长
如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
弧长计算公式：L=n兀R／180
扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
托勒密定理

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 　　
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 　　
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 　　
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 　　
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 　　
（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 　　
注：圆心一般用字母O表示 　　
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 　　
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 　　
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。 　　
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 　　
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 　　
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 　　
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 　　
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 　　
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr²，用字母S表示。 　　
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 　　
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 　　
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 　　
周长计算公式 　　
1.、已知直径：C=πd 　　
2、已知半径：C=2πr 　　
3、已知周长：D=c/π 　　
4、圆周长的一半:1/2周长(曲线) 　　
5、半圆的周长：1/2周长+直径（π÷2+1） 　　
面积计算公式： 　　
1、已知半径：S=πr² 　　
2、已知直径：S=π(d/2)²; 　　
3、已知周长：S=π(c/2π)²; 　　
圆的种类： 　　
（1）整体圆形，（2）弧形圆，（3）扁圆，（4）椭形圆，（5）缠丝圆，（6）螺旋圆，（7）圆中圆、圆外圆，（8）重圆，（9）横圆，（10）竖圆，（11）斜圆。

另：
1
圆的面积与周长计算公式
2
圆心角定理
3
圆周角定理
4
圆幂定理

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PS：这些是在百度百科里摘录的部分
完整请自己去百度百科输入“圆”即可查找
（网页尾有个拓展阅读 是一些公式和圆的相关 可以点开阅读）

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西工区13030851320： 与圆有关的定理有哪些?越多越好, - ？
乌彦依利：[答案] 圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理) 切线长定理 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 四圆定理

西工区13030851320： 关于圆的所有定理,请列出:？
乌彦依利： 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平...

西工区13030851320： 关于圆的定理(相交弦定理)(切割线定理)(两圆公切线定理)希望认真回答. - ？
乌彦依利：[答案] 其一:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 其二:平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆. 【有关圆的基本性质与定理】 ⑴圆的确定:画一条线段,以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆. 圆的对称性质:...

西工区13030851320： 有关圆的所有定理有图 - ？
乌彦依利：[答案] 1圆是定点的距离等于定长的点的集合 2圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 4同圆或等圆的半径相等 5到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,...

西工区13030851320： 谁帮我总结一下有关圆的定理啊? - ？
乌彦依利：[答案] 提供的可能不全. 到初三为止的. 垂径定理 割线定理 切割线定理 相交弦定理 弦切角 还有一部分啦.觉得这是常用的.

西工区13030851320： 圆的所有公式 - ？
乌彦依利：[答案] 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为...

西工区13030851320： 介绍一些有关圆的定理如题,帮忙总结平面几何中一些有关圆的定理,比如圆幂定理什么的, - ？
乌彦依利：[答案] 圆幂定理是对 相交弦定理 、 切割线定理 及 割线定理 (切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结果.圆幂定理定义圆幂 =PO^2-R^2(该结论为 欧拉公式 )所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为...

西工区13030851320： 求助关于圆的所有定理,性质和概念!初中! - ？
乌彦依利：[答案] 1.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;围绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的重合. 2.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心到弦的距离叫做弦心距. 圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为...

西工区13030851320： 圆的所有定义及公式 - ？
乌彦依利：[答案] 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为...

西工区13030851320： 初中数学关于圆的所有公式定理关于圆的都要,哪怕课本没有的如:弦切角```也要,其他的不要初中课改区的``````` - ？
乌彦依利：[答案] 〖圆的定义〗几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点称为圆心,定长称为半径.轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆.集合说:到定点的距离等于定...