如图，已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O为底面中心，M、N是BD上的两点，且BM=DM=3MN（
证明：（1）如图，AH⊥面SBC， 设BH交SC于E，连接AE∵H是△SBC的垂心∴BE⊥SC，∵AH⊥平面SBC，SC?平面SBC∴AH⊥SC，结合BE∩AH=H∴SC⊥平面ABE，∵AB?平面ABE，∴AB⊥SC设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，∵AB?平面ABC∴AB⊥SO，结合SC∩SO=S∴AB⊥平面SCO，∵CO?平面SCO∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心∵△ABC是正三角形∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心∴三棱锥S-ABC为正三棱锥．…（6分）（2）由（1）有SA=SB=SC= 2 3 ，延长CO交AB于F，连接EF∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，∴EF⊥AB，∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，∵SC⊥平面ABE，EF?平面ABE，∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，可得Rt△SOC中，OC=SCcos60°= 3 ，SO=SCsin60°=3，∴正三角形ABC中，AB= 3 OC=3， S △ABC = 3 4 ? 3 2 = 9 3 4 ∴ V S-ABC = 1 3 S △ABC ?SO= 9 3 4 …（12分）
证明：
取DE的中点F，连接AF、PF，
∵PA=√3/2AC，
设AB=BC=AC=1，则PA=√3/2，PC=√7/2，
在△PAB和△PAC中，
AB=AC，∠PAB=∠PAC=90°，PA=PA，
∴△PAB≌△PAC（SAS），
PB=PC，
∵点D、E分别是PB、PC的中点，
∴PD=PE，AD=1/2PB=PD，AE=1/2PC=PE，
∴PD=PE=AD=AE=√7/4，
∵DE=1/2BC=1/2，
∴DF=EF=1/4，
PF²=PE²-EF²=7/16-1/16=6/16=3/8，
同理，AF²=3/8，
∵PF²+AF²=3/8+3/8=3/4，
PA²=（√3/2）²=3/4，
∴PA²=PF²+AF²，
∴PF⊥AF，
∵PD=PE，F是DE的中点，
∴PF⊥DE，
∵AF在面ADE上，DE在面ADE上，AF∩DE=F，
∴PF⊥面ADE，
∵PF在面PBC上，
∴面ADE⊥面PBC.
∵O为底面正三角形ABC的中心，
故E为AC的中点，且BO：OE=2：1，
又由BM=DM=3MN，
∴BN：NM=2：1，
故ON∥ME，
又∵ON?平面MAC，ME?平面MAC，
∴ON∥平面MAC；
解：（2）∵DA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴DA⊥AB，
又∵ABM为BD的中点，AM⊥BD，
故△ABD为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD=AB=AC=BC=2a，
则B（0，2a，0），D（0，0，2a），M（0，a，a），C（
如图,已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形,且DA⊥平面ABC,O为底面中心... 已知:如图,三棱锥D-ABC中,AB平行截面EFGH,CD平行截面EFGH,求证:四边形... 如图,在三棱锥D-ABC中,已知BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB+BD=AC+CD=10,则三棱... 三棱锥D-ABC及其三视图中的主视图和左视图,如左下图,则棱BD的长为 如图所示是三棱锥D—ABC的三视图,若在三棱锥的直观图中,点O为线段BC的... 几何高手来 做出来再追加100分 速度求解 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为1cm,2cm,3cm,此棱锥的... 如图,已知三棱锥P-ABC的侧面PAB是等边三角形,D是AB的中点,PC=BC=AC=2... 高中数学题 如图,在三棱锥A-BCD中,AB垂直平面BCD,BD垂直CD。 求证:若AB=BC=2B... 臧炊衍行：[答案] 证明: 取BC的中点E,连接AE,DE ∵⊿DBC是等边三角形 ∴DE⊥BC【三线合一】 ∵AB=AC ∴AE⊥BC【三线合一】 ∵DE∩AE=E DE⊂平面ADE AE⊂平面ADE ∴BC⊥平面ADE ∵AD⊂平面ADE ∴BC⊥AD 谢通门县17284584220： 三棱锥D - ABC的底面ABC是锐角三角形,且DA垂直平面ABC,H是A在平面BCD内的射影,求证:H不可能是△BCD的垂心 - ？ 臧炊衍行： 利用反证法,假设H是△BCD的垂心.延长BH交CD于E.∵H是A在平面BCD内的射影,∴AH⊥平面BCD,∴CD⊥AH.由假设,H是△BCD的垂心,∴CD⊥BH.由CD⊥AH、CD⊥BH、AH∩BH=H,得:CD⊥平面ABH,∴AB⊥CD.∵AD⊥平面ABC,∴AB⊥AD.由AB⊥CD、AB⊥AD、AB∩AD=A,得:AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC.这与△ABC是锐角三角形矛盾,说明假设不成立.∴H不可能是△BCD的垂心. 谢通门县17284584220： 如右图所示,已知三棱锥D - ABC的三个侧面与底面都全等,切AB=AC=根号3,BC=2,则二面角A - BC - D的大小是多少?？ 臧炊衍行： 取BC中点为E,连接AE、DE,求BCD和ABC所成二面角即为求∠BED, ∵AB=AC=根号3; ∴△ABC为等腰△; ∵E为BC中点; ∴AE⊥BC,BE=1/2BC=1; 在直角△ABE中,由勾股定理得 AE^=(根号3)^2-1^2; ∴AE=根号2; ∵三个侧面和底面ABC全等; ∴DE=AE=根号2; ∵△DBC全等△ABC; ∴DB=AB=根号3; 又∵△ABC全等△BAD; ∴AD=BC=2; 所以△ABE的三边AE=DE=根号2、AD=2; AE^2+DE^2=AD^2; 所以AE⊥DE; ∴∠DEA=90° 所以面BCD与面ABC所成二面角为90°; 谢通门县17284584220： 如图,在三棱锥D - ABC中,已知BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB+BD=AC+CD=10,则三棱锥D - ABC的体积的最大值是 - _ - . - ？ 臧炊衍行：[答案] 过BC作与AD垂直的平面,交AD于E过E作BC的垂线,垂足为F,如图所示:∵BC=2,AD=6,则三棱锥D-ABC体积V=13S△BCE*(AE+DE)=V=13S△BCE*AD=13*12•BC•EF*AD=2EF故EF取最大值时,三棱锥D-ABC的体积也取最大值即BE... 谢通门县17284584220： 如图,在三棱锥D - ABC中,DA=DB=DC,D在底面ABC上的射影为E,AB⊥BC,DF⊥AB于 - ？ 臧炊衍行： 证:∵ D在底面ABC上的射影为E ∴ DE⊥平面ABC ∴ DE⊥AB (若一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于该平面内的任意一条直线) 又∵DF⊥AB DF∩DE=D (即两条直线相交) ∴ AB⊥平面DEF(若一条直线分别垂直于两条相交直线,那么这条直线垂直于这两条相交 直线所构成的平面) 又∵AB⊂平面ABD ∴ 平面ABD⊥平面DEF (若一条直线垂直于一个平面,那么过直线的平面垂直于该平面) 谢通门县17284584220： 如图,在三棱锥D - ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC,(1)求证:AC⊥平面DEF;(2)若M为BD... - ？ 臧炊衍行：[答案] (1)证明:取AC的中点H,连接BH, ∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F为CH的中点. ∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC. ∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE. ∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC,∴DE⊥AC. ∵DE∩EF... 谢通门县17284584220： (本小题满分12分)如图:在三棱锥D - ABC中,已知 是正三角形,AB 平面BCD, ,E为BC的中点,F在棱AC上,且(1)求三棱锥 D - ABC 的表面积;(2)... - ？ 臧炊衍行：[答案] (1)(2)先证EF⊥AC,再证DE⊥AC,即可证AC⊥平面DEF (3)存在这样的点N,当CN=时,MN∥平面DEF. 谢通门县17284584220： 在三棱锥中S - ABC,已知SA垂直底面ABC,BC垂直AC,SA=AC=2,求二面角S - BC - A的 - ？ 臧炊衍行：[答案] ∵SA⊥底面ABC ∴SA⊥AC,SA⊥BA ∴SC=√2a ,SB=√21/3 勾股定理可知∠SCB=90° ∴SC⊥BC ∵AC⊥BC ∴∠ACS是侧面SBC与底面ABC所成二面角 ∵SA=AC,∠SAC=90° ∴∠SCA=45° ∴侧面SBC与底面ABC所成二面角为45° 谢通门县17284584220： 三棱锥D - ABC的底面ABC是锐角三角形,且DA⊥平面ABC,点H是点A在平面BCD内的射影,求证:H不可能是⊿BCD的垂心？ 臧炊衍行： 首先DH是垂直BC的,这由三垂线定理可以得到.. 那么我们就要证CH不垂直于DB,如果CH垂直DB,又AH垂直平面BCD,会有AC垂直DB, 而AC垂直DA,就有AC垂直平面DAB,从而AC垂直AB,矛盾.. 谢通门县17284584220： 已知三棱锥A - BCD的底面是等边三角形,三条棱长都等于1,角BAC=30°,M,N分别在AC和AD上求BM+MN+NB的最小值 - ？ 臧炊衍行：[答案] 将 三棱锥A-BCD 的侧面沿棱AB展开.连结BB'即为 BM+MN+NB的最小值 发现三角形ABB'是等腰直角三角形,又AB=1 故答案为√2 你可能想看的相关专题
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