若数列的任何子数列收敛,此数列是否一定收敛
不一定，比如有界数列必有收敛子列（致密性定理），但是这个有界数列不一定是收敛的
作者观点是对的，这句话应为：序列收敛于X，当且仅当他的任何子序列收敛于X。如果他的子序列不收敛到同一值，序列是不收敛的，如：(-1)^n乘以(n+1)/n不收敛，因为有收敛于+1与-1的两个子序列。详见芦丁数学分析原理
我们认可这样一个前提：改变（包括添加、删除、改变数值）某数列的有限数目个项，不改变数列的敛散性。
可以这样理解，数列的收敛与否我们只关心很远很远的数列尾巴的情况，只改变有限数目的项，都影响不到数列尾巴的情况，自然改变不了数列敛散性。
既然数列 {An} 的任何子列都收敛，我们删去首项 A1，得到一个新数列 {An'}。
由题意，{An'} 是 {An} 的子数列，故 {An'} 收敛；而 {An'} 和 {An} 只有有限项更改，自然 {An} 必然收敛。
先说答案：收敛。课本里涉及到这个了，原题还是集合的任意子集存在它的收敛子集，然后一句话带过收敛，条件比题主这个还要苛刻（因为收敛数列一定有收敛子列）。
题主这个可以这样理解，原集合也可以是自己的一个子集，所以收敛。
然后那个杨老师不够认真啊。有界集合存在收敛子集OK，但题主说的是任何子集都收敛。这波是没仔细审题。
收敛，详情如图所示
数列的子数列一定是无限的吗
如果数列收敛于a那么他的任意子数列也收敛，且极限也是a'数列发散，则子数列肯定发散
收敛数列的子数列是否都能收敛?
然而，发散的数列并非全然绝望，它们的子序列中隐藏着无限的可能性。就像一片森林，虽然整体可能无法归拢，但局部的树木却可能展示出各自的生机和收敛的迹象。但若一个数列的所有子数列都收敛于不同的极限，那么这个数列本身必定是发散的，就像河流无法同时汇入两个不同的海洋，数列的极限一致性是其收敛性...
数列极限,一个数列an有界,它的所有子数列收敛且极限都是a,怎么证明an...
任给ε>0,若不存在正整数N,使得当n>N时都有|an-a|<ε，则 对于任意正整数N,总存在n1>N,使得|a<n1>-a|>=ε,于是包含a<n1>的子数列的极限不是a,矛盾，所以命题成立。
如何理解函数极限的性质?
3、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 {xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。4、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列...
如何证明数列极限的存在?
2、序列收敛法：如果数列an收敛于某个实数A，那么数列的极限就是A。因此，可以通过证明数列收敛于某个实数来证明数列的极限存在。3、子序列收敛法：如果数列an的某个子序列an_k收敛于某个实数A，那么数列的极限就是A。因此，可以通过证明数列的某个子序列收敛于某个实数来证明数列的极限存在。4、聚点...
怎样理解数列收敛的条件?
3、如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。全局收敛对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。局部收敛若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（...
证明:有界数列任何收敛子列都有相同极限,则该有界数列收敛!
首先，取N=1;存在n1,使得／An1-a\/>e；再取N=n1,存在n2,使得／An2-a\/>e；依次类推，将得到一个子列｛Ani},每项满足／Ani-a\/>e。由于该子列｛Ani}有界，所以子列本身存在收敛子列｛Bni},，显然子列的收敛子列｛Bni}也是原数列的收敛子列；由条件知，该收敛子列收敛于a;而该收敛子列的每项...
高等数学的数列极限收敛与子数列收敛有什么关系?
如果a是数列的极限，即为数列收敛于a，所以可以说是等价关系。数列收敛，即：存在N∈N+，使得n>N时，对于任意ε（ε>0），恒有：|Xn-a| < ε 成立，其中a就是该数列的极限 由此可知：数列收敛则数列极限存在，反之也是一样。有界数列不一定存在极限，如：xn=sinnx，显然，该数列|sinnx|≤1，...
如何证明有界数列的子数列收敛?
注意事项 1、有界数列的应用：数列有极限的必要条件：数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。2、函数的有界性：函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。3、函数...
如何证明数列收敛
证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1\/n，随着n增大，lim(an)=a0，因此可证明数列{an}是收敛的。收敛数列与其子数列间的关系：子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如...
星径金嗓： 不收敛,只有数列的任意子数列收敛,该数列才收敛
珠山区18897727678： 数列的子数列如果发散原数列是否发散 - ？
星径金嗓：[答案] 发散.倒过来说,如果数列a(n)收敛,则它的子数列也收敛,这是一致性.因此只要有一个子数列不收敛,原数列就不收敛.
珠山区18897727678： 证明数列发散？
星径金嗓： 收敛数列的任何子数列都是收敛的,这句话一般作为判断发散数列的条件, 如果一个数列可以找到2个子列分别收敛不同极限,那么这个数列肯定发散. 取该数列的两个子数列:1,Xn=∑(-1)^n=0 (n=2k,k=1,2,3...) 2,Xn=∑(-1)^n=-1 (x=2k-1,k=1,2,3...) 则两数列收敛于不同的极限,1收敛于0,2收敛于-1, 从而该数列的极限不存在,该数列发散.
珠山区18897727678： 收敛数列的任何子数列都收敛,这句话对么?求教大神! - ？
星径金嗓：[答案] 对! 证明过程看图: 如果不太理解证明过程,记住结论就好了.也没人会考你证明的
珠山区18897727678： 数列一个子列的极限存在 那么该数列收敛吗 - ？
星径金嗓： 可以.并且所有的子列都收敛到A任意e,当n充分大时及存在一个N,当,所有的n>N,有|xn-A|
珠山区18897727678： 求问数学分析关于数列收敛的问题! 命题:任何子列都收敛的数列必定收敛.这个命题是错误的.可是又不知道错在哪里.因为比方说找到个有界数列,它不收... - ？
星径金嗓：[答案] 结论是对的.任何子列就包括原数列,原数列按条件是收敛的.
珠山区18897727678： 怎样证明任意子列收敛这数列收敛 - ？
星径金嗓： 怎样证明任意子列收敛这数列收敛答:首先设c<=x_k<=d,对于所有k成立,这里运用了有界的条件.其次,记c_1=c,d_1=d,将[c,d]按区间长度平均一分为二,显然数列中有无穷多项在分出来的两部分中的一部分,记此部分区间为[c_2,d_2],这样...
珠山区18897727678： 数列的子数列一定是无限的吗 - ？
星径金嗓： 如果数列收敛于a那么他的任意子数列也收敛,且极限也是a'数列发散,则子数列肯定发散
珠山区18897727678： 收敛数列的任意子列必定收敛 - 上学吧普法考试？
星径金嗓： From 百度百科:在数列里,任取无穷多项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 所以,显然是包含的
