如何证明有界数列一定有收敛的子数列？
利用魏尔斯特拉斯聚点定理即可证明致密性定理。
考虑有界数列{xn}：
1、若{xn}中有无穷多项相等，则取这些相等的项为子列。
2、若不含无穷多相等项，则{xn}为一有界无限点集，由聚点定理可知，{xn}存在聚点x0。
任取a>0，存在xn1使得|xn1-x0|<a。
继续取a/2,a/2^2...
可得到{xn}的子列{xnk}收敛于x0。
综上致密性定理成立。
扩展资料：
定律定义
先介绍子列的概念：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子列。
根据极限的性质，数列有界是收敛的必要条件，即如果数列收敛，那它一定有界，但反之不一定成立。可是致密性定理却告诉我们，只要一个数列有界，那么它一定会有收敛的子数列。
参考资料来源：百度百科-波尔查诺-维尔斯特拉斯定理
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求高中数学最常用的公式..要精的,没用的不要.
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和田县19886779401： 证明,两个有界数列必有同下标的收敛子列 - ？
汗向甲磺：[答案] 因为有界数列必有收敛子列,先从第一个有界数列找出一个收敛子列,第二个有界数列的同下标的收敛子列也是有界数列,所以在此子列中可找出一个它的收敛子列,而此下标收敛子列在第一有界数列中同样收敛.
和田县19886779401： 证明:任何有界的复数列必有一个收敛的子数列. - ？
汗向甲磺：[答案] 1. 设有界的复数列{z(n)=a(n)+ib(n)}n∈N, |a(n)|≤|z(n)|≤M==> {a(n)}n∈N为有界的实数列,则必有一个收敛的子数列 {a(u(k))}k∈N,且Lim{k→∞}a(u(k))=a. |b(u(k))|≤|z((u(k))|≤M==> {b(u(k))}k∈N为有界的实数列,则必有一个收敛的子数列 {b(u(v(s)))}s∈N,...
和田县19886779401： 证明:有界数列存在收敛的子列.是证明他有收敛的子列! - ？
汗向甲磺：[答案] 聚点定理:任意有界无穷数集至少有一个聚点. 对此数列,若有无穷多个相同的项,则此以这些相同的项构成的数列的为该数列的收敛子列. 若没有无穷多个相同的项,则该数列的每一个元素作为集合S的一个元素.由聚点定理知集合s必有一个聚点.从s...
和田县19886779401： 用有限覆盖定理证明:任何有界数列必有收敛子列 - ？
汗向甲磺：[答案] 先用有限覆盖定理证明聚点定理,再用聚点定理证明致密性定理(即任何有界数列必有收敛子列).
和田县19886779401： 怎么证明:{Xn}为有界数列的充要条件是{Xn}的任一子列都存在其收敛的子列? - ？
汗向甲磺：[答案] 在完成证明之前先引入一个结论:任一数列中都能取出一个单调子列. 证:引入一个定义:如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项,则称这一项是一个“龙头”.下面分2种情况: 情况1 如果在数列中存在无穷多个“龙头”,那么把这些作为...
和田县19886779401： 证明:有界无限点列{pn}R2必存在收敛子列{pnk} - ？
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和田县19886779401： 请问如何证明有界发散数列必存在两个极限不同的收敛子列?有个麻烦的要求,不能用柯西收敛准则,最好能用BW定理, - ？
汗向甲磺：[答案] 记这个数列为{x[n]},且|x[n]|N使得|x[n]-a|>=e 也就是存在数列{x[n[m]]},使得|x[n[m]]-a|>=e,即x[n[m]]
