设数列{An}的前项n和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n.设bn=an+3 (1)求证:数列{bn}是等比列。

设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n。设bn=an+3n,求证：数列{bn}是等比数列~

a1=S1=2a1-3,得a1=3
Sn=2an-3n
S(n-1)=2a(n-1)-3(n-1)
2式相减,得:
Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)-3=an
所以an+3=2(a(n-1)+3)
数列{an+3}是以a1+3=3+3=6为首项,以2为公比的等比数列
an+3=6*2^(n-1),an=3*2^n-3
bn=an+3=3*2^n
{bn}是以b1=6为首项,2为公比的等比数列.

===============
设数列{nan}的前n项和为Tn
则
Tn=3(1*2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n)-3n(n+1)/2
2Tn=3( 1*2^2+2*2^3+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)-3n(n+1)
上式减去下式得:
-Tn=3(2+2^2+2^3+...+2^n)-3n*2^(n+1)+3n(n+1)/2
-Tn=3(2*(2^n-1))-3n*2^(n+1)+3n(n+1)/2
所以Tn=3(n-1)2^(n+1)-3n(n+1)/2+6

(1)
Sn=2an-3n
n=1时，S1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3
n>=2时，
an=Sn-S(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3
即：an＝2a(n-1)+3
两边+3
an+3＝2[a(n-1)+3]
而bn=an+3,代入：
bn=2b(n-1)
所以数列{bn}是等比数列，q=2,首项为b1=a1+3＝6
bn=6*2^(n-1)=3*2^n

an=bn-3=3*2^n-3

(2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和
前n项和为Tn
Tn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]
2Tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]
上式减去下式：
-Tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]
＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2
＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6

故：Tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6


注：求这类n项和，都是用Tn减去qTn，错位相消法。



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(1)
Sn = 2an-3n
n=1, a1= 3
an = Sn - S(n-1)
= 2an - 2a(n-1) -3
an = 2a(n-1) +3
an+3 =2( a(n-1) + 3)
{ an +3 }是等比数列, q=2
bn = an+3 是等比数列, q=2
(2)
an+3 =2( a(n-1) + 3)
=2^(n-1) .(a1+3)
= 3.2^n
an = -3 +3.2^n
(3)
let
S = 1.2^1+2.2^2+...+n.2^n (1)
2S = 1.2^2+2.2^3+...+n.2^(n+1) (2)
(2)-(1)
S = n.2^(n+1) -(2+2^2+...+2^n)
=n.2^(n+1) -2(2^n-1)
cn = n.an
= n(-3 +3.2^n)
= 3(n.2^n) - 3n
Tn = c1+c2+...+cn
=3S - 3n(n+1)/2
=3n.2^(n+1) -6(2^n-1) - 3n(n+1)/2
= 6-[3n(n+1)/2] +(6n-6).2^n

(1)证明：由Sn=2an-3n得a1=3，S(n+1)=2a(n+1)-3(n+1)
S(n+1)-Sn=[2a(n+1)-3(n+1)]-(2an-3n)
即a(n+1)=2[a(n+1)-an]-3
a(n+1)=2an+3
b(n+1)/bn=[a(n+1)+3]/(an+3)=2(an+3)/(an+3)=2
所以数列{bn}是以b1=6为首项，q=2为公比的等比数列
所以bn=b1*q^(n-1)=6*2^(n-1)

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舞阳县13551117147： 设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an - 3n - ？
淡狠银翘： ^Sn=2an-3n Sn-1=2an-1-3n+3 Sn-Sn-1=an an=2an-2an-1-3 an+3=2(an-1+3) bn=an+3 所以bn为等比数列 a1=3,a2=9,a3=21 b1=6,b2=12,b3=24 bn=3*2^n an+3=3*2^n an=3*2^n-3 nan=3n*2^n-3n 前n项和为Sn Sn=3(1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+...

舞阳县13551117147： 设数列{An}的前项n和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an - 3n.设bn=an+3 (1)求证:数列{bn}是等比列. - ？
淡狠银翘： (1)证明:由Sn=2an-3n得a1=3,S(n+1)=2a(n+1)-3(n+1) S(n+1)-Sn=[2a(n+1)-3(n+1)]-(2an-3n) 即a(n+1)=2[a(n+1)-an]-3 a(n+1)=2an+3 b(n+1)/bn=[a(n+1)+3]/(an+3)=2(an+3)/(an+3)=2 所以数列{bn}是以b1=6为首项,q=2为公比的等比数列 所以bn=b1*q^(n-1)=6*2^(n-1)

舞阳县13551117147： 设数列{AN}的前N项和为SN,若对于任意的N属于N*,都有SN=2AN - 3N (1)求数列{AN}的首....... - ？
淡狠银翘： ^(1) 由Sn=An-3n n=1时,S1=A1=2A1-3 得A1=3 n>1时,S(n+1)=2A(n+1)-3(n+1) A(n+1)=S(n+1)-Sn=2A(n+1)-3-2An 所以A(n+1)=2An+3(2) 由A(n+1)=2An+3 A(n+1)+1=2(An+1) 所以{An+1}是公比为2的等比数列 首项=A1+1=3+1=4 所以An+1=4*2^(n-1) 故通项公式An=2^(n+1)-1(3) Sn=(2^2-1)+(2^3-1)+....+[2^(n+1)-1]=[2^2+2^3+...+2^(n+1)]-n=2^2*(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+2)-n-4

舞阳县13551117147： 设数列{an}的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列 - ？
淡狠银翘： ①an+1=Sn+1-Sn ②an=Sn-Sn_1(n≥2) ①-②得 an+1-an=Sn+1+Sn_1-2Sn =(n+1)(a1+an+1)/2+(n-1)(an+an_1)/2-n(a1+an) =1/2[(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan] 可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan(n≥2) 整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an_1(n≥2) 即2an=an+1+an_1(n≥2) 根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列

舞阳县13551117147： 设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正数n,总存在正数m,使得Sn=am,则称{an}是”H数 - ？
淡狠银翘： (1){an}的前n项和Sn=2^n(n∈N*),n=1时a1=S1=2,n>1时an=Sn-S=2^n-2^(n-1)=2^(n-1).∴Sn=a,∴数列{an}是“H数列”.(2){an}是等差数列,其首项a1=1,公差d∴Sn=n+n(n-1)d/2=1+(m-1)d=am,∴m=1+(n-1)(2/d+n)/2为正整数,∴d=-1.(3)设数...

舞阳县13551117147： 高中数列问题……………………………………满意加分设Sn是数列{an}的前n项和,若a3=12,S12>0,S13 - ？
淡狠银翘：[答案] 1. S13(a1+a13)*13/2(a3+a11)(a3+a3+8d)dS12>0; (a1+a12)*12/2>0; (a3+a10)*6>0; a3+a10=a3+(a3+7d)>0; 7d>-2a3=-24; d>-24/7; 故 -24/72.an=a3+(n-3)*d=12+(n-3)*d; 因此a70; 到了第七项,开始出现负数,只要再加下去,和只会减少, 因此...

舞阳县13551117147： 设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有Sn=3an - 5n(1)求数列{an}的首项,(2)求证数列{(an)+5}是等比数列,并求数列{an}的通项公式,(3... - ？
淡狠银翘：[答案] (1)当n=1时,a1=3a1-5a1=5/2(2)S(n+1)=3a(n+1)-5(n+1)S(n+1)-Sn=3a(n+1)-3an-5(n+1)+5na(n+1)=3a(n+1)-3an-5a(n+1)=3/2an+5/2a(n+1)+X=3/2(an+5/3+2/3X)令 x=5/3+2/3xx=5a(n+1)+5=3/2an+5/2+5=3/2(an+5)叠乘法an+5=...

舞阳县13551117147： 【高一数学】设数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2且S(n+1) - 3Sn+2S(n - 1)=0(n≥2且n∈N﹢),试判断{an}是不是等比数列? - ？
淡狠银翘：[答案] a1=s1=1 a2=s2-s1=1 S(n+1)-3Sn+2S(n-1)=0(n≥2且n∈N﹢), 变形得S(n+1)-Sn=2[Sn-S(n-1)] 即a(n+1)=2an 而a2/a1=1不等于2 故{an}不是等比数列 (不过除去第一项后便是等比数列)

舞阳县13551117147： 设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an... - ？
淡狠银翘：[答案] (1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=2.当n=1时,S1=a1.当n≥2时,Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.(2)Sn=na1+n(n−1)2d=n+n(n−1)2d,对∀n∈N*,∃m∈N*使Sn=am,即n+n(n−1)2d=1+(m−1...

舞阳县13551117147： 设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意正整数,都有Sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列. - ？
淡狠银翘： an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/22an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1 (1) 同理(n-1)*(an+1)=nan-a1 (2)(1)-(2) 得到(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)2an=an-1+an+1 所以an+1-an=an-an-1 得证