怎么证线面垂直
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知:α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α。
求证:OP⊥β。
证明:过O在β内作OQ⊥l,则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β
∴∠POQ=90°,即OP⊥OQ
∵OP⊥l,l∩OQ=O,l⊂β,OQ⊂β
∴OP⊥β
扩展资料:
性质定理:
性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行。
推论:空间内如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上,在空间几何上也成立。)
由性质定理2可知,过空间内一点(无论是否在已知平面上),有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。
1、点在平面外:
设点P是平面α外的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。
作法:
①在α内任意作一条直线l,并过P作PA⊥l,垂足为A。
此时,若PA⊥α,则所需PQ已作出;若不是这样,
②在α内过A作m⊥l。
③过P作PQ⊥m,垂足为Q,则PQ是所求直线。
证明:
由作法可知,l⊥PA,l⊥QA
∵PA∩QA=A
∴l⊥平面PQA
∴PQ⊥l
又∵PQ⊥m,且m∩l=A,m⊂α,l⊂α
∴PQ⊥α
2、点在平面内:
设点P是平面α内的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。
作法:
①过平面外一点A作AB⊥α,作法见上。
②过P作PQ∥AB,PQ是所求直线。
证明:
由性质定理3可知,若作出了AB⊥α,PQ∥AB,那麼PQ⊥α。
参考资料来源:百度百科-面面垂直
题目在哪里
证线面垂直的方法:方法1、只要能够证明平面α内有两条相加直线垂直于已知直线L,那么就可以证明:平面α⊥直线L。
方法2、用向量法来证明。只要找出平面α的法向量n,证明它与直线L的方向向量i满足n*i=0,那么就有向量n⊥向量i,即可证明平面α⊥直线L。
查书去,这么简单还不懂。平面内两条向交直线垂直于另一条直线
平面外一直线垂直于平面内两条相交的直线
直线与面的法向量共线
怎么证线面垂直
证线面垂直的方法如下:1、线面垂直的判定定理 直线与平面内的两相交直线垂直 2、面面垂直的性质 若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 3、线面垂直的性质 两平行线中有一条与平面垂直,则另一条也与平面垂直 4、面面平行的性质 一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面 5...
立体几何复盘:如何证明空间的线面垂直?
于是集齐了证明线面垂直所必需的要素: .等腰三角形的 「三线合一」 是解答本题的关键.【破解要点】「欲证线面垂直,先证线线垂直.」几何图形在平移和翻转后,形状和大小不改变.在图1中, 是直角;在图2中, 是直角,「由线线垂直推出线面垂直」 :「由线面垂直推出线线垂直」 :「再由...
线面垂直的判定定理
判定定理:如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直,则l⊥面S 假设l不垂直于面S,则要么l∥S,要么斜交于S且夹角不等于90。当l∥S时,则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时,过l任意作一个平面R与S交于...
证明线面垂直有几种方法?
证明线面垂直的方法 1 线面垂直的判定定理 直线与平面内的两相交直线垂直 2 面面垂直的性质 若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 3 线面垂直的性质 两平行线中有一条与平面垂直,则另一条也与平面垂直 4 面面平行的性质 一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面 5 ...
线面垂直,线线垂直,面面垂直的条件
线面垂直条件:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,就说这条直线与此平面互相垂直。线线垂直条件:当一条直线垂直于一个平面时,则这条直线垂直于平面上的任何一条直线,简称线面垂直则线线垂直。面面垂直条件:若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角),则这两个平面互相垂直。
空间直角坐标系线面垂直怎么证
要证明线面垂直,可采用向量法或坐标法。向量法 假设平面P的法向量为n,直线L上的一点坐标为P,直线L的方向向量为d,则有:1.直线L与平面P垂直,等价于向量d与向量n正交:d n = 0 其中表示向量点积。2.向量n必须垂直于平面P上的任意一条直线,可以取平面上某一点Q,连线PQ即可得到n。3.求...
线面垂直的性质定理内容是?
线面垂直的性质定理内容:性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行...
线面垂直判定定理的证明
线面垂直判定定理的证明基于向量几何和点积运算,可以通过以下步骤进行证明。1.定义 线面垂直判定定理指出:如果一条直线与一个平面相交,且直线上任意一向量与平面上任意一向量的点积为零,则该直线与平面垂直。2.向量表示 首先,我们将直线表示为起点为P,方向向量为v的参数方程:L:P+tv,其中t为实数...
线面垂直的判定定理
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线面垂直的判定定理 线面垂直是有什么性质
线面垂直的判定定理与性质 线与面垂直的判别规则是这样的:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线必然垂直于整个平面。值得注意的是,这个定理依赖于“交集”的存在,平行的直线无法作为判定垂直的依据。关于直线与平面的垂直关系,我们有以下定理:垂直定理:当一条直线垂直于一个平面...
啜凯威太:[答案] 找出一条与你已经证明垂直的线平行的线,只要有两条平行线同时垂直于这个面,那么就证明了你想要的答案了.
酒泉市19341417937: 怎么证明线面垂直的性质定理 - ?
啜凯威太:[答案] m和n为平面中两条相交直线,通过平移或者说原本就在,使得l经过m、n的交点O,我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD,则得到平行四边形ABCD.此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g.
酒泉市19341417937: “线面垂直”一共有几种证法???? - ?
啜凯威太: 从大方向上说,只有证明该直线与平面上的两条相交直线都垂直着一种办法,具体证法当然要具体情况具体分析
酒泉市19341417937: 知道线线平行怎么证线面垂直?知道线面垂直怎么证面面平行? - ?
啜凯威太:[答案] 证线面垂直,需证线垂直于面内两条相交直线.不管已知是什么,都是这样证. 知道线面垂直,只要证两个面垂直于同一条直线(或者一对平等线),则面面平行.
酒泉市19341417937: 高三数学如何证明线线垂直,线面垂直,面面垂直和线线平行,线面平行,面面平行 - ?
啜凯威太: 你所说的这些问题之间是有关系的. 要证线线垂直可以1,用坐标向量法,2,有了坐标可以计算长度用勾股定理,3,线面垂直可推出线线垂直. 要证线面垂直就证1,这条线与这个面里的两条相交直线垂直,2,也可以用向量法,面的法向量...
酒泉市19341417937: 求证线面垂直的条件! - ?
啜凯威太:[答案] 这条线垂直于平面上的两条相交线
酒泉市19341417937: 怎样证明线线垂直?哪位大哥能总结一下? - ?
啜凯威太: 方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
酒泉市19341417937: 如何证明线面垂直,基本方法是什么,基本步骤怎么写,具体点.(CF交CE等于C)还有里面这类步骤是什么意思、. - ?
啜凯威太:[答案] 找到面的法向量:取面内两条相交直线,证明其与该直线垂直. 代数方法:设直线方向向量为L(x,y,z),面内两直线方向向量A(a1,b1,c1)和B(a2,b2,c2),L·A=0,L·B=0,即证明. 几何方法:设法证明该直线与面内两条相交直线都垂直,即可证明该直线...
酒泉市19341417937: 怎么证明线面垂直?是一条直线垂直于平面上的两条直线就行么? - ?
啜凯威太:[答案] 是垂直于平面的两条相交直线
酒泉市19341417937: 面面垂直如何证明线面垂直 - ?
啜凯威太:[答案] 只需证明那条直线与那个面两条相交的直线垂直就可以了