证明：三角形的重心到三个顶点的向量之和为0 并证明三角形重心坐标公式

三角形重心的坐标公式~

因为D是BC中点，所以2GD=GB+GC，同时，因为AG=2GD，所以AG=GB+GC，即GA+GB+GC=0。

GA+GB+GC=0，设坐标原点为O，所以GA=OA-OG，GB=OB-OG，GC=OC-OG，所以，3OG=OA+OB+OC，重心坐标公式自己证明，OG=(OA+OB+OC)/3。

三角形

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

方法1：
设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)，再设BC中点为D，我们知道，重心G是中线上的一个三等分点，所以AG=2 GD，
D的坐标是((x2 + x3)/2, (y1 + y2)/2)，
再设G(x, y)，所以AG = (x - x1, y - y1)，GD = ((x2 + x3)/2 - x, (y2 + y3)/2 - y)，代入AG = 2GD，可以解得
x = (x1 + x2 + x3)/3, y = (y1 + y2 + y3). 然后证明向量之和为0不用我说了吧。

方法2：
因为D是BC中点，所以可以知道，2 GD = GB + GC，同时，因为AG = 2GD，所以，AG = GB + GC，即GA + GB + GC = 0.
因为GA + GB + GC = 0，设坐标原点为O，所以GA = OA - OG，GB = OB - OG，GC = OC - OG，所以，3 OG = OA + OB + OC，然后重心坐标公式自己证明吧，OG = (OA + OB + OC) / 3

---

宜都市13110923553： 证明:三角形的重心到三个顶点的向量之和为0 并证明三角形重心坐标公式 - ？
植周佳丹：[答案] 方法1: 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),再设BC中点为D,我们知道,重心G是中线上的一个三等分点,所以AG=2 GD, D的坐标是((x2 + x3)/2,(y1 + y2)/2), 再设G(x,y),所以AG = (x - x1,y - y1),GD = ((x2 + x3)/2 - x,(y2 + y3)/2 - y),代入AG = 2...

宜都市13110923553： 证明三角形的重心与其三个顶点的连线的向量之和为零向量 - ？
植周佳丹： 设,三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 则重心O[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3] 向量OA=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3] 向量OB=[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3] 向量OC=[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3] 则,向量OA+向量OB+向量OC=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3]+[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3]+[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3]=(0,0) 即得证

宜都市13110923553： 用向量法证明:三角形的外心、重心、垂心共线. - ？
植周佳丹：[答案] 不妨设三角形的外接圆半径为1(如果不是1,就把定点坐标乘以半径).设3个顶点为 A(cosa,sina) B(cosb,sinb) C(cosc,sinc) 由重心坐标公式,三角形重心为 G( (cosa+cosb+cosc)/3 ,(sina+sinb+sinc)/3 ) 设 H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc) 用向量...

宜都市13110923553： 三角形重心的性质证明 - ？
植周佳丹： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G. 求证:EG=1/2CG 证明:过E作EH∥BF交AC于H. ∵AE=BE,EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ ...

宜都市13110923553： 如何用向量的方法证明三角形的重心是三线合一的? - ？
植周佳丹： 设 G1 是中线 AD 上一点,且 AG1=2/3*AD , 则由中线的向量表达式可得 OG1=OA+AG1=OA+2/3*AD=OA+2/3*1/2*(AB+AC)=OA+1/3*(OB-OA+OC-OA)=1/3*(OA+OB+OC) ,同理,若设 G2 是中线 BE 上一点,且 BG2=2/3*BE ,则可得 OG2=1/3*(OA+OB+OC) , 设 G3 是中线 CF 上一点,且 CG3=2/3*CF ,则可得 OG3=1/3*(OA+OB+OC) , 这说明 G1、G2、G3 重合 ,也就是三条中线交于一点. (顺便证明了:重心到顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍)

宜都市13110923553： 如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理? - ？
植周佳丹： (用解析几何的方法证) 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为: (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+...

宜都市13110923553： 三角形重心向量性质推论? - ？
植周佳丹： 三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单. 性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 性质二、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数. 性质三、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,则M点为△ABC的重心,反之也成立. 性质四、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC).按角分 1、锐角三角形:三角形的三个内角都小于90度. 2、直角三角形:三角形的三个内角中一个角等于90度,可记作Rt△. 3、钝角三角形:三角形的三个内角中有一个角大于90度.

宜都市13110923553： 三角形内哪一点到三顶点平方和最小?？
植周佳丹： 你好 ,三角形的重心到三顶点平方和最小. 用向量证明如下: 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y)则该点到三顶点距离平方和为: (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2...

宜都市13110923553： 重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.一定要用向量证法!求证明!一定要用向量证法!求证明!不要解析几何法! - ？
植周佳丹：[答案] 设 G 是三角形 ABC 的重心,P 是平面上任一点,则 |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=|PG+GA|^2+|PG+GB|^2+|PG+GC|^2=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2(PG*GA+PG*GB+PG*GC)=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2PG*(GA+GB+GC)=3|PG|^...

宜都市13110923553： 三角形的重心定理 - ？
植周佳丹： 参考百度百科 http://baike.baidu.com/view/3274759.htm 三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单.(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三...