已知直角三角形其中一条边的边长和一个锐角的角度,怎么求它的高?
勾股定理:a²+b²=c²如果知道a或b的平方,就可以用a或b加一个小数字来尝试知道c的长度,就把它拆成两个和比自己大的数字来验证
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A,B,斜边为C,那么 A^2+B^2=C^2;; 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A,B,C满足A^2+B^2=C^2;,还有变形公式:
,如:一条直角边是a,另一条直角边是b,如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。(称勾股定理的逆定理) 直角三角形由 毕达哥拉斯在公元前550年提出。
有一个 角为 直角的三角形称为 直角三角形。在直角三角形中,与直角相邻的两条边称为 直角边,直角所对的边称为 斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“ 弦”。若两条直角边不一样长,短的那条边叫作“ 勾”,长的那条边叫作“ 股”。
中文名直角三角形别 称Rt△提出时间2016.3.10适用领域范围三角形内角和度数180度 外文名right triangle表达式Rt△ABC应用学科数学分类方法按角或边分类
目录
1图形示列
2判定定理
3特殊性质
4判定方法
5基本简介
6相关线段
7勾股定理
8应用举例
9斜边公式
10三角函数
11解三角形
解法含义
解法归纳
1图形示列
编辑
直角三角形如图所示:分为两种情况,有普通的直角三 直角三角形角形,还有 等腰直角三角形(特殊情况)
2判定定理
编辑
等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:具有稳定性、内角和为180°。两 直角边相等,两锐角为45°,斜边上 中线、 角平分线、 垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。
3特殊性质
编辑
它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质 :
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图,∠BAC=90°,则AB²+AC²=BC²( 勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中, 斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点, 外接圆半径R=C/2)。该性质称为 直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有 射影定理如下:直角三角形
(1)(AD)²=BD·DC。
(2)(AB)²=BD·BC。
(3)(AC)²=CD·BC。
射影定理,又称“ 欧几里德定理”:在 直角三角形中,斜边上的高是两条 直角边在斜边射影的比例中项,每一条 直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项。是 数学图形计算的重要定理。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
证明方法多种,下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°(直角三角形两锐角互余)
取AB中点D,连接CD,根据 直角三角形斜边中线定理可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=AB/2,那么∠A=30°
取AB中点D,连接CD,那么CD=BD=AB/2(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图, 在Rt△ABC中∠BAC=90°,AD是斜边上的高,则:
证明:S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2,再平方得AB²*AC²=AD²*BC²
运用勾股定理,再两边除以
,最终化简即得
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
4判定方法
编辑
判定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:若
,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形( 勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为 斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角 互为余角(两角相加等于 90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的 斜率之积互为 负倒数,则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6:若在一个三角形中一边上的 中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。参考 直角三角形斜边中线定理
判定7:一个三角形 30°角所对的边等于某一邻边的一半,则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明:
已知△ABC中,∠A=30°,∠A,∠C对的边分别为a,c,且a=
c。求证∠C=90°
证法1:
正弦定理,在△ABC中,有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法,假设∠ACB≠90°,过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=
AB(30°的直角边等于斜边的一半)
又∵BC
AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段,根据垂线段最短可知BD
(或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°,那么△BCD中就有两个直角,这是不可能的事情)
∴假设不成立,∠ACB=90°
证法3
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆,设圆心为O,连接OC,OB
∵∠BAC=30°,A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r
又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
应用举例
编辑
直角三角形如图1,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点
立柱为BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,求BC、DE要多长?
解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°
勾股定理:a²+b²=c²如果知道a或b的平方,就可以用a或b加一个小数字来尝试知道c的长度,就把它拆成两个和比自己大的数字来验证
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A,B,斜边为C,那么 A^2+B^2=C^2;; 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A,B,C满足A^2+B^2=C^2;,还有变形公式:
,如:一条直角边是a,另一条直角边是b,如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。(称勾股定理的逆定理) 直角三角形由 毕达哥拉斯在公元前550年提出。
有一个 角为 直角的三角形称为 直角三角形。在直角三角形中,与直角相邻的两条边称为 直角边,直角所对的边称为 斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“ 弦”。若两条直角边不一样长,短的那条边叫作“ 勾”,长的那条边叫作“ 股”。
中文名直角三角形别 称Rt△提出时间2016.3.10适用领域范围三角形内角和度数180度 外文名right triangle表达式Rt△ABC应用学科数学分类方法按角或边分类
目录
1图形示列
2判定定理
3特殊性质
4判定方法
5基本简介
6相关线段
7勾股定理
8应用举例
9斜边公式
10三角函数
11解三角形
解法含义
解法归纳
1图形示列
编辑
直角三角形如图所示:分为两种情况,有普通的直角三 直角三角形角形,还有 等腰直角三角形(特殊情况)
2判定定理
编辑
等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:具有稳定性、内角和为180°。两 直角边相等,两锐角为45°,斜边上 中线、 角平分线、 垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。
3特殊性质
编辑
它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质 :
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图,∠BAC=90°,则AB²+AC²=BC²( 勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中, 斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点, 外接圆半径R=C/2)。该性质称为 直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有 射影定理如下:直角三角形
(1)(AD)²=BD·DC。
(2)(AB)²=BD·BC。
(3)(AC)²=CD·BC。
射影定理,又称“ 欧几里德定理”:在 直角三角形中,斜边上的高是两条 直角边在斜边射影的比例中项,每一条 直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项。是 数学图形计算的重要定理。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
证明方法多种,下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°(直角三角形两锐角互余)
取AB中点D,连接CD,根据 直角三角形斜边中线定理可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=AB/2,那么∠A=30°
取AB中点D,连接CD,那么CD=BD=AB/2(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图, 在Rt△ABC中∠BAC=90°,AD是斜边上的高,则:
证明:S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2,再平方得AB²*AC²=AD²*BC²
运用勾股定理,再两边除以
,最终化简即得
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
4判定方法
编辑
判定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:若
,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形( 勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为 斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角 互为余角(两角相加等于 90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的 斜率之积互为 负倒数,则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6:若在一个三角形中一边上的 中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。参考 直角三角形斜边中线定理
判定7:一个三角形 30°角所对的边等于某一邻边的一半,则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明:
已知△ABC中,∠A=30°,∠A,∠C对的边分别为a,c,且a=
c。求证∠C=90°
证法1:
正弦定理,在△ABC中,有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法,假设∠ACB≠90°,过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=
AB(30°的直角边等于斜边的一半)
又∵BC
AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段,根据垂线段最短可知BD
(或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°,那么△BCD中就有两个直角,这是不可能的事情)
∴假设不成立,∠ACB=90°
证法3
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆,设圆心为O,连接OC,OB
∵∠BAC=30°,A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r
又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
应用举例
编辑
直角三角形如图1,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点
立柱为BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,求BC、DE要多长?
解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°
直角三角形ABC中,角C=90.角A=30,CD垂直AB于D
根据在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它的直角边会等于斜边的一半.
可以知道。BC=1,角B=60.角DCB=30.BD=1/2
所以CD=根号3/2
你可能说的是求斜边上的高吧.可用锐角三角函数求出答案来.
若是特殊角直接可求.
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它的直角边会等于斜边的一半.
正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
看看例题
如果已知一个直角三角形其中一个角的度数(45度),而且也知道底的长度,怎...
这是等腰直角三角形。已知底是一条直角边,边长为a时,三角形的面积S=a²\/2,已知底边是斜边,边长为c时,面积S=c²\/4。
只知道直角三角形的一条直角边可以求斜边吗
只知道直角三角形的一条直角边可以求斜边。直角三角形中三边关系:含有30度角的直角三角形 1:根号3:2。含有45度角的直角三角形 1:1:根号2。直角边\/斜边=cos夹角。(直角边与斜边的)斜边=直角边\/cos夹角
已知直角三角形一边长和其中一个角度,怎么求斜边长
斜边=130\/sin42°=130\/0.66913=194.28。弦值是在直角三角形中,对边的长比上斜边的长的值。任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。三角形角的性质:1、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理)。2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理...
已知直角三角形其中一角15度,该角所对的边是1,求另外两边?我要过程,谢 ...
已知直角三角形其中一角15°,该角所对的边是1,则另一角75° 1\/sin15=b\/sin75 b=sin75\/sin15=2+根3 c=根(a²+b²)=2根(2+根3)
已知直角三角形其中一条边的边长和一个锐角的角度,怎么求它的高?_百...
首先画图:直角三角形ABC中,角C=90.角A=30,CD垂直AB于D 根据在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它的直角边会等于斜边的一半.可以知道。BC=1,角B=60.角DCB=30.BD=1\/2 所以CD=根号3\/2
一直角三角形中已知其中一锐角为20度,该锐角的邻边为200厘米.求斜边长度...
斜边长度=邻边长度\/20度的余弦值。斜边长度=200\/cos20°
己知直角三角形的3个边长求其中1个锐角值
直角三角形 斜边最长 所以 三个边长里肯定有一个最大 用X代表 用 y和z 带表另外两个边长 用A代表 其中一个锐角(因为直角三角形 所以除直角外 其他两个角都是锐角)A = (y\/X)\/sin
已知直角三角形内有一正方形,如何求面积?
直角三角形内有一正方形,求正方形面积:2ab\/3。设直角三角形的直角所对应的两条直角边分别为a和b,正方形的边长为x。则根据勾股定理可得:a^2 + b^2 = (a+b)^2\/2 + x^2 化简可得:x^2 = 2ab\/3 正方形面积为x^2,带入上式得:正方形面积 = 2ab\/3 直角三角形是一种特殊的三角...
已知直角三角形一条直角边和斜边的长度,怎样计算另一条直角边的长度...
使用勾股定理可求另一条直角边的长度。其中c和b是已知的斜边和直角边。勾股定理表达式:a²+b²=c²勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦。早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾...
蒲居力复: 1,已知∠A,边是斜边c,a=c sinA,b=c cosA 2,已知边是与角B相邻的直角边a,b=a tanB,c=√(a²+b²) 3,已知边是与角B相对的直角边b,a=b cotB,c=√(a²+b²)
禹州市13340608111: 直角三角形知道一条边长和一个角度,求2条边分别是多少直角三角形 - ?
蒲居力复:[答案] 是高中吗? 另一直角边:80*tan15°=80*(1-cos30°)/sin30°=160-80√3 斜边:80/cos15°=80/√[(1+cos30°)/2]=80√6-80√2
禹州市13340608111: 直角三角形,知道一条直角边长度和一个角度,另外的边怎么算 - ?
蒲居力复:[答案] 设直角三角形中C=90°, 1、若已知A及对边a,则: c=a/sinA,b=a/tanA; 2、若已知A及临边b,则: c=b/cosA,a=b*tanA.
禹州市13340608111: 直角三角形的边长计算,已知一条边长和一个角的大小,求其他两边长度 - ?
蒲居力复:[答案] 已知一条边长和一个邻角的大小:c=a/cosB,b=atgB; 已知一条边长和一个对角的大小:c=b/sinB,a=bctgB.
禹州市13340608111: 一个直角三角形,已知一条边长和一个角度.怎样求另一边长如图.求红线的长度.一个直角三角形,已知一条边长4251.325和一个角度9.46°怎样求另一边长 - ?
蒲居力复:[答案] 红线的长度=4251.325 / cos9.46°=4257.203
禹州市13340608111: 一个直角三角形知道一个边长和一个角的角度.这么怎么求其余两边长 - ?
蒲居力复:[答案] 勾股定理:a²+b²=c² 如果知道a或b的平方,就可以用a或b加一个小数字来尝试 知道c的长度,就把它拆成两个和比自己大的数字来验证
禹州市13340608111: ,初中几何题,会的进.在直角三角形中,已知一直角边的长度和一斜边的长度,求另一直角边的长度?直角边长1500,斜边长12600.求另一直角边长? - ?
蒲居力复:[答案] 勾股定理,A^2+B^2=C^2 C是斜边 也就是直角所对着的边 也是最长的边. 已知2条边求第三条边的长度 直接套公式计算就行了 12600^2-1500^2=12510 是近似值
禹州市13340608111: 一个直角三角形,已知一条边长和一个角度.怎样求另一边长 - ?
蒲居力复: 勾股定理:a²+b²=c² 如果知道a或b的平方,就可以用a或b加一个小数字来尝试 知道c的长度,就把它拆成两个和比自己大的数字来验证 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为A,B,斜边为C,那么 A^2+B^2=C^2;; 即直角三角形两直角...
禹州市13340608111: 一个直角三角形,已知一条边长和一个角度.怎样求另一边长 - ?
蒲居力复: c=a/cosB =4251.325/cos9.46°=4309.9376
禹州市13340608111: 已知直角三角形其中一条边的边长和一个锐角的角度,怎么求它的高??
蒲居力复: 首先画图: 直角三角形ABC中,角C=90.角A=30,CD垂直AB于D 根据在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它的直角边会等于斜边的一半. 可以知道.BC=1,角B=60.角DCB=30.BD=1/2 所以CD=根号3/2