三角形十二心的性质

三角形的每个心都有什么性质啊?~

三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
(9)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.
下面是更为详细的性质:
1:垂心
三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。
性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
2:内心
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：
性质1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等。
性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+12∠A，类似地还有两式；反之亦然。
性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC。
性质4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，令p= (1/2)(a+b+c)，则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI。
性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。
性质6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D，则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。
3:外心
三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.外心有如下一系列优美性质：
性质1 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。
性质2 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)。
性质3 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc/4S△。
性质4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。
性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
4:重心
性质1 设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q与G重合时QD·QE·QF最大；反之亦然。
性质2 设G为△ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然。
性质3 设G为△ABC的重心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC；反之亦然。

三角形共有五心：
内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

三角形的十二心

外心：三边中垂线交点。

内心：三个内角角平分线交点。

垂心：三条高线交点。

重心：三条中线的交点。

旁心：一个内角平分线与另两个角的外角平分线交点。

格高尼点：ABC内切圆切三边与D、E、F，AD、BE、CF的共点。

威毕特点：ABC两边AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG，若AP垂直BC于P，则AP、BF、CD共点。

费马点：ABC三边各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，该点到三边距离和最小。

伪垂心：设AD、BE、CF为ABC的三条高，D、E、F关于三边中点的对称点为D'、E'、F'，则AD'、BE'、CF'三线共点。

界心：设D、E、F分别在ABC的三边BC、CA、AB上，若AD、BE、CF把ABC的周界分成两条等长的折线，则AD、BE、CF三线共点。

陪位重心：AD、BE、CF为三角形的中线，D。、E。、F。分别在BC、CA、AB上，若角BAD=角D。AC，角CBE=角E。BA，角ACF=角F。CB，则AD。、BE。、CF。三线共点。

布洛卡点：已知P为ABC内一点，若角PAB=角PBC=角PCA=a，则P为布洛卡点，a为布洛卡角.

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沙市区13130694913： 三角形十二心的性质 - ？
貂泄前列： 三角形共有五心: 内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心. 性质:到三边距离相等. 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质:到三个顶点距离相等. 重心:三条中线的交点. 性质:三条中线的三等分点,...

沙市区13130694913： 三角形十二心的性质？
貂泄前列： 我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是＂欧拉线＂,即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是＂九点圆...

沙市区13130694913： 三角形的每个心都有什么性质啊? - ？
貂泄前列： 三角形的五心有许多重要性质,它们之间也有很密切的联系,如: (1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等; (2)三角形的外心到三顶点的距离相等; (3)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成...

沙市区13130694913： 三角形的各个心的性质就是三角形的内心,外心,重心等一些心都有什么性质 - ？
貂泄前列：[答案] 三角形的内心到三边距离相等(垂直),三角形的外心到三点距离相等,三角形的重心到三点的角度相等

沙市区13130694913： 三角形的几个心的性质 - ？
貂泄前列： 重心为三条高中线交点,且分每一条中线为2:1的2部分 垂心为三条高的交点 内心为三条角平分线交点,到三边距离相等,为三角形内接圆圆心 外心为三条中垂线交点,到三个顶点距离相等,为三角形外接圆圆心 任意三角形外心,内心,垂心三心共线,且外心到重心距离为重心到 垂心距离的一半

沙市区13130694913： 关于三角形的各个心的性质就是三角形的内心,外心,重心等一些心都有什么性质呢? - ？
貂泄前列：[答案] 三条角平分线的交点叫内心,三角形的内心到三条边的距离相等.以它为圆心,以到三条边的距离为半径,可以画个圆,叫做三角形的内切圆.三条垂直平分线的交点叫外心,!三角形的外心到到三个顶点的距离相等.以它为圆心,以它到...

沙市区13130694913： 三角形的各种心以及他们的性质以及怎么规定的 - ？
貂泄前列： 1.外心:三边垂直平分线交点,性质:外心到三顶点等远.2.内心:三内角平分线交点.性质:内心到三边距离相等.3.垂心:三高的交点.性质:是垂足三角形(三垂足为顶点的三角形)的内心.4.重心:三中线的交点.性质:重心到任一边中点的距离等于这边上中线长点1/3.5.旁心:一内角和它的不相邻的二外角平分线的交点,性质:到三边所在直线的距离相等.

沙市区13130694913： 三角形几个心的定义及其性质特点 - ？
貂泄前列： 内心:三条角平2113分线的交点,5261也是三角形内切圆的圆心.4102 性质:到三边距离相等. 外心:三条中垂1653线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质:到三个顶点距离相等. 重心:三条中线的交点. 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍. 垂心:三条高所在直线的交点. 性质:此点分每条高线的两部分乘积 旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质:到三边的距离相等.希望能帮助到你:)

沙市区13130694913： 三角形的外心,内心,中心,重心,垂心分别怎么做,各有什么性质? - ？
貂泄前列： 内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心. 性质:到三边距离相等. 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质:到三个顶点距离相等. 重心:三条中线的交点. 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为...

沙市区13130694913： 关于三角形的各个心的性质详细介绍.(包括三角形心是什么的交点.)？
貂泄前列：三角形的内心即三角形内切圆的圆心,所谓三角形的内切圆,就是与此三角形的三边都相切的圆,所以三角形的内心到三角形三边的距离相等(因为都是三角形内切圆的半径),所以三角形的内心是三角形三个角的角平分线的交点(这也很好理...