三角形的重心、垂心、外心、内心的定义及性质分别是什么？

三角形的重心，垂心，外心，内心的定义及性质分别是什么~

内心
是三条角平分线的交点，它与三条边的距离相等；即内切圆的圆心；直角三角形的内心到边的距离等于两条直角边长度之和减去斜边长度之差的一半；
外心
是三条边垂直平分线的交点，它与三个顶点的距离相等；即外接圆的圆心；
重心
是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到该顶点对边中点距离的两倍；重心与三个顶点构成的三个三角形面积相等；重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数；重心是三角形内到三条边距离之积最大的点；
垂心
是三条高的交点，它可以构成许多相似直角三角形；
旁心
是一个内角平分线和它不相邻的两个外角平分线的交
点，它与三条边的距离相等。

正三角形的内心、外心、重心、垂心重合，该点叫中心。

一、三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

三角形垂心的性质

设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。　

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的 垂心在三角形外。

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。　

4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH•HD=BH•HE=CH•HF。　

5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。　

6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。　

7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP•tanB+AC/AQ•tanC=tanA+tanB+tanC。　

8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。　

9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。　

10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。　

11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。　

12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。　

13、 设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

二、三角形的重心

重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。

5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三、内心 

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。   

三角形内心的性质　

设⊿ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3、r=S/p。

4、∠BOC=90°+A/2。

5、点O是平面ABC上任意一点，点O是⊿ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

7、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。

8、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr。

四、三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上.

三角形外心的性质

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

1、（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

（3）钝角三角形的外心在三角形外。

2、∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A). 

3、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0。

扩展资料

其它规则图形的重心：

注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。

三角形的重心就是三边中线的交点。 线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。

平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。

圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。

锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。

四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。

参考资料来源：百度百科-三角形重心

参考资料来源：百度百科-三角形垂心

参考资料来源：百度百科-三角形内心

参考资料来源：百度百科-三角形外心

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。

二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

重心就是受力重心，垂心是过定点垂线中心，内心是内切圆圆心，外心是外接圆圆心。



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旺苍县17132843671： 三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊? - ？
氐丽阿乐： 内心:三角形的三内角平分线交于一点.(内心定理)外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)中心:等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心:三角形的三条高交于一点.(垂心定理)重心:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理) 旁心: 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点.(旁心定理)三角形有三个

旺苍县17132843671： 三角形的中心,重心,垂心,外心,内心分别是什么 - ？
氐丽阿乐：[答案] 三角形只有五种心 重心:三中线的交点; 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简...

旺苍县17132843671： 三角形的内心、外心、重心、垂心分别是什么 - ？
氐丽阿乐：[答案] 答:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理),这个交点叫做三角形的重心.三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)这个点叫做三角形的外心.三角形的三条高交于一点.(...

旺苍县17132843671： 数学基本知识:内心、外心、重心、垂心、中心的定义分别是什么? - ？
氐丽阿乐：[答案] 重心:三角形的三条中线交点. 外心:三角形的三边的垂直平分线交点. 垂心:三角形的三条高交于一点. 内心:三角形的三内角平分线交于一点. 至于“中心”好像没有这个吧

旺苍县17132843671： 三角形内心,外心,重心,垂心,旁心定义 - ？
氐丽阿乐：[答案] 正三角形的重心、垂心、外心、内心重合的点叫中心 一个物体的各部分都要受到重力的作用.从效果上看,我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,这一点叫做物体的重心. 重心的几条性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之...

旺苍县17132843671： 有关三角形四心的定理垂心、重心、内心、外心 - ？
氐丽阿乐：[答案] 重心定理三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点.这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点.这点叫...

旺苍县17132843671： 谁能把三角形中各个“心”的定义归纳下来?(重心、垂心、旁心、内心、外心等! - ？
氐丽阿乐：[答案] 重心:三角形三边中线的交点 垂心:三角形三条边上的高交于一点 旁心:旁切圆的圆心叫做三角形的旁心 内心:三个角的角平分线的交点 外心:三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心

旺苍县17132843671： 三角形的重心,中心,外心,内心,垂心分别是怎么定义的?与三角形什么线有关? - ？
氐丽阿乐：[答案] 三角形内接圆的圆心就是内心,也就是三条内角平分线的交点 外接圆的圆心就是外心,也就是三边中垂线的交点 三条高的交点就是垂心 三条中线的交点就是重心

旺苍县17132843671： 三角形中,重心,中心,垂心,内心,外心.都是指什么 - ？
氐丽阿乐：[答案] 重心是三条中线的交点 垂心是三条高的交点 内心是三条角平分线的交点 外心是三条边的垂直平分线的交点 中心只有正三角形才有,对于正三角形重心、垂心、内心、外心重合,该点就是中心

旺苍县17132843671： 三角形重心,中心,垂心,外心,内心定义用文字说明定义就可以了. - ？
氐丽阿乐：[答案] 御念昔:辞海上这样说:垂心:三角形的三条高或其延长线相交于一点,这点称为三角形的垂心.重心:三角形的三条中线相交于一点,这点称为三角形的重心.内心:三角形内切圆的圆心.外心:三角形外接圆的圆心.旁心:与三角...