排列组合的例题分析

排列组合这一类问题的题型分析（有例题），解题思路和方法技巧 100财富，要求问题回答完整，搞懂给分~

例一：
这个事件所有人都承包完事件才算完成，所以是一个分步的问题，使用乘法原理
第一步：甲在八个中挑三个公司，就是8C3
第二步：乙在甲挑剩的五个中挑一个公司，就是5C1
第三步：同理，丙就是4C2
第四步：剩下的给丁就是1，也可以理解为2C2＝1
然后用乘法原理全乘起来
8C3×5C1×4C2×1
例二：
这种甲乙站一起的题用捆绑
因为相邻所以把甲乙看成一个整体，因为乙一定在右边，所以不用乘2A2
然后就变成了4个人在排队，那就是4A4

捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于解决"相邻问题"及"不邻问题"。总的解题原则是"相邻问题捆绑法，不邻问题插空法"。在实际公务员考试培训过程中，我发现学员经常碰到这样的困惑，就是一样类型的题目，不过表达的形式有所变化，就很难用已解过的题目的方法去解决它，从而降低了学习效率。下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式，以实际例题详细讲解。 "相邻问题"捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其"捆绑"后整体考虑，也就是将相邻元素视作"一个"大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人"捆绑"，视其为"一个人"，也即对"A，B"、C、D、E"四个人"进行排列，有 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有 种排法。根据分步乘法原理，总的排法有 种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书"捆绑"在一起看成一本大书，2本外语书也"捆绑"在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有 种排法；又3本数学书有 种排法，2本外语书有 种排法；根据分步乘法原理共有排法 种。
有帮助选我哦~

⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；
⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 【例1】 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。
【例2】 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?
分析：对实际背景的分析可以逐层深入：
（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。
∴ 本题答案为：C（8,3）=56。 分析是分类还是分步，是排列还是组合
注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。
【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有1种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
【例4】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？
（A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
或分步
⑴从6双中选出一双同色的手套，有C（6,1）=6种方法
⑵从剩下的5双手套中任选两双，有C（5,2）=10种方法
⑶从两双中手套中分别拿两只手套，有C（2,1）×C（2,1）=4种方法。
同样得出共⑴×⑵×⑶=240种。
【例5】．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2）×C（4,2）×C（2,2）=90种。
【例6】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，C（2,2）×C（5,2）×C（4,4）=10种；
第二类：这两个人都去当车工，C（5,4）×C（2,2）×C（4,2）=30种；
第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工C（5,4）×C（4,4）=5种。
第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,3）=80种；
第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,4）=20种；
第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C（5,4）×C（2,1）×C（4,3）=40种；
因而共有185种。
【例7】现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有32种方法；
抽出的三数含0不含9，有24种方法；
抽出的三数含9不含0，有72种方法；
抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。
因此共有32+24+72+24=152种方法。
【例8】停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,9）=362880种停车方法。 特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。
【例9】六人站成一排，求
⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数
⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数
第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有A（4,2）=12种；
第二步：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，
共A（4,4）=24种；
根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12×24=288种。
⑵第一类：甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3×A（4,4）种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3×A（4,4）种方法。
第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有6×A（4,4）种方法（排除相邻）。
共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312种。
【例10】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C（4,1）种可能；
第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。
第三步：前四次有A（4,4）种可能。
∴ 共有576种可能。 【例11】8人排成一队
⑴甲乙必须相邻
⑵甲乙不相邻
⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻
⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：⑴甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑（甲乙可交换） 和7人排列A（7,7）×A（2，2）
⑵甲乙不相邻，A（8,8）-A（7,7）×2。或A（6,6）×A(7,2)
⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A（6,6）×2×2
甲乙必须相邻且与丙不相邻A（7,7）×2-A（6,6）×2×2
⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻A（6,6）×2×2
⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，A（8,8）-A（7,7）×2×2+A（6,6）×2×2
【例12】某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A（5,2）。
【例13】 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。∴ 共C（6,3）=20种方法。
方法二：
把其中的3只灯关掉总情况有C（8，3)种
关掉相邻的三只有C（6，1)种
关掉相邻的两只有2*C（7，2)-12种　　所以满足条件的关灯方法有:　　C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]　　=56-6-(42-12)　　=20种 ⑴排除法
【例14】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，
∴ 共76种。
【例15】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共C（8,4）-12=70-12=58个。
【例16】1，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
分析：由于底数不能为1。
⑴当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。
⑵当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共A（8,2）=56，其中log2为底4=log3为底9，log4为底2=log9为底3,log2为底3=log4为底9,log3为底2=log9为底4.
因而一共有56-4+1=53个。
【例17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有A(6，6)/2=360种。
（二）先考虑六人全排列A(6,6)种；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了A(3,3)种， ∴ 有A(6，6)/A(3,3)=120种。
【例18】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：（一）首先不考虑男生的站位要求，共A（9,9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9×8×7×6=3024种
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
（二）按照插空的方式进行思考。
第一步：4个女生先在9个位置中选择4个，为A(9,4)种方式；
第二步：男生站剩下的位置，因为必须从高到矮的顺序，没有规定方向，所以有2种；
综上，总的站法数有A(9,4)×2=6048种。
【例19】 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
分析：先认为三个红球互不相同，共A（5,5）=120种方法。
而由于三个红球所占位置相同的情况下，共A（3,3）=6变化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20种。
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列（即排序）。（P是旧用法，教材上多用A，Arrangement)
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。 【例20】10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。 所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题。
【例21】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
⑴可组成多少个不同的四位数?
⑵可组成多少个不同的四位偶数
⑶可组成多少个能被3整除的四位数?
分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300个。
⑵分为两类：0在末位，则有A（5,3）=60种：0不在末位，则有C（2,1）×A（5,3）-C（2,1）×A（4,2）=96种。
∴ 共60+96=156种。
⑶先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96种。 【例22】 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有多少种？
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有C（5,3）=10种分组方法。可以看成4个板三个板不空的隔板法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A（4,4）=24种，
由（一）（二）可知，共10×24=240种。 【例23】某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如右图）
⑴图中共有多少个矩形？
⑵从A点到B点最近的走法有多少种？
分析：⑴在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线
可组成1个矩形，故可组成矩形C（7,2）·C（5,2）=210个
⑵每条东西向的街道被分成4段，每条南北向的街道被分成6段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210种走法（同样可以从10段中选出4段走南北方向，每一种选法即是1种走法）。所以共有210种走法。 排列、组合、二项式定理公式口诀：
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

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栾川县17752855230： 排列组合问题中的插空法我在网上看到这个例题是这样计算的:例3、7人站成一排照相, 若要求甲、乙、丙不相邻,则有多少种不同的排法? 分析: 先将其... - ？
常蒋替加：[答案] “先将其余四人排好有A =24种排法” 认同! 有五个空, 假如按步骤来说,甲有5个选择,5C1 乙有4个,4C1 丙有3个,3C1 乘起来就是1440.

栾川县17752855230： 一道排列组合的题请给我具体的解题思路,某旅游团要从8个风景点中选2个风景点作为当天的旅游地,求分别满足以下条件的选法的种数.(1)甲乙风景点中... - ？
常蒋替加：[答案] 至少选一个的反面就是一个都不选C82(8个里任选2个)-C62(从除甲乙外的6个里选2个) =13 2.至多选一个的反面就是两个都选C82(8个里任选2个)-C22(只能选甲乙这两个) =27 3当选甲时乙不能选有C11C61(选了甲再除去乙,6个里面选一个)...

栾川县17752855230： 一道排列组合题!无重复数字的四位数中,有至少两个奇数数字和至少一个偶数数字的四位数共有多少个?答案是3300个,写出分析过程,用排列组合做. - ？
常蒋替加：[答案] 3个奇数1个偶数 偶数在千位,4*5*4*3=240 偶数在其他位,5*5*4*3=300 300*3=900 所以是1140个 2个奇数,两个偶数 偶数一个在千位,和其它位,4*4*5*4=320 320*3=960 然后都不在千位,5*4*5*4*3(千位奇数,其它位奇数3种)=1200 所以一...

栾川县17752855230： 排列组合题 的分析 - ？
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栾川县17752855230： 排列组合中的分组分配和分组不分配问题如何处理?能不能讲的详细点?再配几道例题加以分析? - ？
常蒋替加：[答案] 分组分配就用P分组不分配就用C,也就是一个是排列一个是组合

栾川县17752855230： 排列与组合的归纳总结(有不同例题讲解) - ？
常蒋替加： 同步教学 主讲人:黄冈中学教师 李新潮 一、一周知识概述 本周复习内容是高二数学(下)第十章——排列、组合和概率的前半部分内容.排列与组合是重点,也是难点,复习中用时较多. 二、重、难点知识的归纳与剖析 (一)、本周学习的重点 ...

栾川县17752855230： 关于一个排列组合的数学问题举个简单的例子作为示范:现有甲乙丙3个人,从其中任选2个人去参见某项活动,请问甲被选中的概率为多少?我有两种解题思... - ？
常蒋替加：[答案] 排列的定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例如,abc与abd的...

栾川县17752855230： 排列,组合的例题每次做时都经常错,有啥典型解题方法? - ？
常蒋替加： 2,共有=48(个);第四类:不合0也不含5的四位数,共有=24(个).所以,符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个);第二类、2、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有( )个. 解法一 元素优先数字0、1、2、3...

栾川县17752855230： 排列组合问题:有6双手套,是6种颜色,从中取出4只,4只中恰好有1双的取法有多少种?希望大家再给出一些排列组合的题,最好附上解题思路和答案. - ？
常蒋替加：[答案] 首先啊从6双中取出一双就是C6取1 然后再取2只不一样的 就是从5双中取2双就是C5取2 然后在这两双中在分别取一只就是C2取1再乘C2取1 最后就是6*10*2*2=240

栾川县17752855230： 排列组合题求解汽车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的不同方式有多少种?请给出解题思路.(我好怕排列组合题哦!) - ？
常蒋替加：[答案] 相当于在5个箱子里放上10个球嘛,每个球都可以有5个选择,那么10个球不就是有5的10次方种方法嘛!简单的排列组合问题只要慢慢想一下就能理清思路,复杂的就得看那些逻辑思维能力强而且排列组合学的好的人了,呵呵