如何辅导三四年级孩子学习盈亏问题
本帖最后由 小学理科吕明针 于 2015-5-25 10:54 编辑
把一定数量的物品，按照某种标准分给一定数量的人，如果物品有剩余叫盈，如果物品不足叫亏。由于标准不同，造成结果差异，通过数量关系可以求物品数量和人数。这一类应用题叫盈亏问题。
基本特点：对象总量和总的人数（或组数）是不变的。
有三类基本题型：①一次有余数，另一次不足；②当两次都有余数；③当两次都不足。
今天我们先来了解第一类题型：一次有余数，另一次不足。
【例1】
三年级的老师给小朋友分糖果，如果每位同学分4颗，发现多了3颗，如果每位同学分5颗，发现少了2颗。问有多少个小朋友?有多少颗糖?
分析：
第一次分糖果，如果每人分4颗，会剩3颗。
第二次分糖果，要使每人分到5颗，就需要给每人再分1颗（这里的1颗怎么得来的？5-4=1）。但是，现在糖果不够分了，要补2颗才能保证每人再分到1颗。
所以，如果要保证每人再分到1颗糖果，第二次分糖果的时候，一共要分下去5颗糖果（这里的5颗怎么得来的？第一次剩的3颗+第二次补的2颗）。
那么一共有多少小朋友？
5÷1=5（个）
一共有多少糖果呢？
5×4+3=23（颗）或5×5-2=23（颗）
【例2】
老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。问参加栽树的有多少名同学？原有树苗多少棵？
分析：
第一次分树苗的时候，每人分到9颗（因为题意给出“如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵”），第二次如果每人再分一棵，正好10棵。
第二次，要保证每人再分到1颗树苗，要分下去20棵（这里的20怎么得来的呢？第一次剩的12棵+第二次补的8棵）。
把20棵树苗分给同学们，每人分到1棵，那么有多少名同学呢？
20÷1=20（人）
原有多少棵树苗？
20×9+12=192（棵）或20×10-8=192（棵）
【例3】
学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？分析：
题中有两种体育用品，两种体育用品有倍数关系，不妨做个转化（因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，所以有两副羽毛球拍就可以换成一副乒乓球拍，可以对题中羽毛球拍的数量除以2，转化成乒乓球拍的数量关系）。
原题就变为：每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分乒乓球拍7副，则差15副。
第一次分乒乓球拍的时候，每组分到5副；第二次如果每组再分2副（这里的2怎么得来的呢？第二次每组7副-第一次每组5副），则每组就有7副。
要保证每组再分2副，要分下去30副（这里的30怎么得来的呢？第一次剩的15副+第二次补的15副）。
30副球拍，每组分到2副，那么有多少组呢？
30÷2=15（组）
原有乒乓球拍多少副？
5×15+15=90（副）
原有羽毛球拍多少副？
90×2=180（副）
【例4】
小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？
分析：
如图，每一段小线段代表1分钟。
题中有两个不变的量：①从家到学校的路程不变；②从家出发到上课铃响的时间不变。
第一次，铃声响起以后，距离学校50×3=150米；
第二次，铃声响之前2分钟到校，这两分钟相当于超出学校走了60×2=120米。
从家出发到上课铃声响起，两次相差150+120=270米。
现在我们只看从家出发到上课铃声响起的这段时间（因为这段时间是不变的）。
为什么会差出这270米呢？因为第二次每分钟多走了10米。这270米是分配给了多少分钟？270÷10=27（分）
所以，从家出发到上课铃声响起，一共走了27分钟。
从家到学校的路程是50×（27+3）=1500（米）或60×（27-2）=1500（米）。
【小结】盈亏问题公式
一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
(盈+亏）÷两次分配数之差=份数（70+5）÷5=15辆车 15×65+5=980人
引导孩子考虑：每个小朋友分5块后，教师手上还有14块。依据题中“每人分7块，又短少4块”，也就是说，再补给教师4块饼干，每个人就能够分得7块了。那好，再补给教师4块，教师手上则有前面剩下的14块和后补的4块，一共有14+4=18块饼干。把这18块饼干也都分给小朋友，每个小朋友就正好有7块饼干了。现在每个小朋友都已经有了前次分的5块饼干，再分得7-5=2块饼干，每人就有7块饼干了。也就是说教师手上的18块饼干正好能够再给每个小朋友2块饼干。这样就简单了解，小朋友一共有18÷2=9个小朋友。得出小朋友的人数，当然就很简单求得本来的饼干数量了。通过这种了解方法，信任孩子能够很简单把握盈亏根本典型问题的考虑方法，而不是简单的记忆那些解题公式了。当然，盈盈、亏亏问题都能按此了解和回答了。
盈亏根本典型问题解题思路的关键是两次分配的比例差异与盈亏差异的相互联系。两次分配的盈亏差正是因为两次平均分配的比例差所导致的，而两次分配的份数又不发生改变，因而盈亏差就是比例差与份数的乘积。这是盈亏问题解题思路的实质。（孩子假如一时难以彻底了解这个实质，也不要强求）
在此根底上，咱们再来剖析一下根本典型盈亏问题的前置根底要求：
1. 先后两次对同一物品（饼干）进行不同的平均分配；
2. 前后两次分配饼干过程中小朋友的人数是固定不变的，也就是分配的份数不变；饼干的原有数量，也就是在两次分配中基数固定不变；
3. 两次分配中每人分得的饼干数量，以及两次分配中教师手上剩下或短少的饼干数量能够改变，也就是每份的数量和每次分配的盈亏数额能够改变，咱们也正是依据这两个数额的改变情况求得最终的份数和分配基数的。
这些前置根底要求是咱们能否运用上述解题思路来回答这类题型的根底条件，假如不满意这些根底条件，就不能直接运用根本典型题的回答思路来回答。从另一视点来说，遇到不满意上述前置根底要求的相似标题，就要设法将其变换到满意前置根底要求后，才干再运用根本典型题的回答思路来回答。教师和课本上都说，要长于将复杂的盈亏问题转化为根本典型的盈亏问题，但是详细怎样转化，孩子仍是无从下手。现在，咱们剖析了上述前置根底要求，至少咱们能够清晰，就是要把不符合上述前置根底要求的条件转化为符合前置根底要求的条件。
在条件变换的过程中，要捉住前置条件中固定的要求和能够改变的条件之间的联系，详细到盈亏问题中，因为每份的数量和每次分配的盈亏数量是能够改变的，咱们一般也就考虑将需求固定的条件进行固定，并依据有关标题条件将此改变变换为能够改变的盈亏数值的改变。
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