微分方程的特解
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步:求特征根
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)
第二步:通解
1、若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步:特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
第四步:解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1,C2是任意常数。
拓展资料:
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程,其解是常数值。
高数常用微分表
唯一性
存在定一微 分程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
用换元法
===========
y''+py'+qy=f(x)
其中f(x)=Pn(x)=a0+a1x+...a(n-1)x^(n-1)+anx^n
即f(x)为x的n次多项式Pn(x)
由于多项式的导仍为多项式(只是次数降低),故y''+py'+qy=Pn(x)的特解可假设为y''(x)=Q(x)(Q(x)也是多项式)
代入特解得 Q''(x)+pQ'(x)+qQ(x)=Pn(x)
(1)若q≠0,左边的最高次为Q(x),故Q(x)应也是n次多项式
所以设y*=Qn(x)=A0+A1x+A2x²+...+Anx^n(A0,A1,...,An为待定系数)
(2)若q=0,p≠0,则原方程为Q''(x)+pQ'(x)=Pn(x)
故应要求Q'(x)为n次多项式,即Q(x)为n+1次
所以设y*=xQn(x)
(3)若q=0,p=0,则原方程为Q''(x)=Pn(x),应设y*=x²Qn(x)
对于这种简单的情况,可以通过两次积分求出微分方程的通解
y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2
===========
题目中的情况即是Pn(x)=a0+a1x+a2x²
那么可根据p,q是否为零选择不同的特解形式
1、微分方程y''-3y'+2y=1+4x+x²,可设特解y*=A0+A1x+A2x²
2、微分方程y''-3y'=1+4x+x²,可设特解y*=x(A0+A1x+A2x²)
3、微分方程y''=1+4x+x²,可设特解y*=x²(A0+A1x+A2x²)
你的情况是属于f(x)=(b0x^m+b1x^(m-1)+...+b(m-1)x+bm)e^(ax)的情况。
注:里面b(m-1)代表第(m-1)个系数,这里不能贴图只能这么表示了。
你说x的两次方,所以a=0;
1)如果特征方程里面a=0是两重根的话特解y=x^2*(b0x^2+b1x+b2),然后带入方程求出系数b0和b1,b2;
2)如果特征方程里面两个根里面有一个是0的话,特解y=x*(b0x^2+b1x+b2);
3)a=0不是特征方程的根,那么就直接y=b0x^2+b1x+b2。
另外,我回答的是两阶常系数方程,一般考试考到这里也就差不多了。
要看是几阶方程
如果右边是x^2,那左边一般比右边高阶数次
比如如果是2阶方程就设x^4的多项式,因为做一次微分次数就减一
如果方程的左端含Y
特解设为同次多项式
如果方程的左端不含Y
特解设为同次多项式与X的乘积
http://www.efunda.com/math/ode/linearode_undeterminedcoeff.cfm
这里有一个表,都是相对应的怎么设特解方程的。
微分方程的特解形式的求法是什么?
微分方程的特解形式的求法如下:1、变量离法 变量分离法是求解微分方程的常用方法之一。对于形如f(x,y)dx+g(y)dy=0的微分方程,我们可以尝试将f(x,y)和g(x,y)分别移到方程的两边,然后对两边同时积分,得到一个常数解。这样就完成了变量的分离,从而得到特解。2、齐次方程法 齐次方程法适用...
微分方程的特解是指什么?
通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数。比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数。求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以...
微分方程的特解是什么意思
微分方程的特解是指满足该微分方程的特定解,其系数和初值条件已知。与通解不同,通解包含所有满足该微分方程的不同形式的解。特解可以用于解决特定问题或预测特定趋势。
微分方程的特解是什么意思?
对于微分方程,它的解有通解与特解之分。1、从两者的性质上来说,通解包含特解,特解仅仅是通解的一部分。2、从两者的形式上来说,通解给出解的形式包含满足微分方程的所有解,它包含一些不确定参数。如果给出微分方程的初始条件,则可以确定参数的具体值,得到唯一的特解。举一个简单例子:因此,两...
什么叫特解,什么叫通解?
这里的解、通解、特解是指微分方程的,通解一般是指非齐次微分方程的特解加上齐次微分方程的通解,特解是指非齐次微分方程的特解。1、微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理...
什么是微分方程的通解?什么是特解?
对一个微分方程而言,它的解会包括一些常数,对于n阶微分方程,它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。举例说 y'=2x的通解为y=x^2+C,表示一族抛物线,如果给出初始条件y(0)=0,代入通解得到0=0+C--->C=0于是通解化作特解:y=x^2,表示一条抛物线。所以,微分方程的通解表示解曲线族...
微分方程的解是指什么?
微分方程的特解是指满足微分方程的某个特定常数。例如,对于微分方程xy'=8x^2,通解是y=4x^2+C,其中C是任意常数。而特解则是y=4x^2,其中没有任意常数。例如,一阶线性微分方程的通解包括一个任意常数,而特解则不包含任意常数。二、微分方程的种类 1、根据未知函数的个数和阶数,微分方程可以...
如何确定微分方程的特解?
确定微分方程的特解需要遵循以下步骤:1.首先,我们需要确定微分方程的类型。微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。线性微分方程是指满足叠加原理的微分方程,而非线性微分方程则不满足叠加原理。2.对于线性微分方程,我们可以通过求解齐次线性微分方程来找到其通解。齐次线性微分方程是指将原微分方程...
微分方程的特解怎么求
1,先求特征方程根r^2-8r+12=0得r1=2,r2=6则原方程对应其次方程通解为y*=C1e^2x+C2e^6x2,求特解,观测法,当y为常数-1\/6时满足等式故原方程通解为 y=-1\/6+C1e^2x+C2e^6x
常微分方程的特解有哪些形式?
1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 通解 1、两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2、两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x)3、一对共轭复根:r1=α+iβ,r...
欧迫卡铂:[答案] 通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数.比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数.
五峰土家族自治县18924688165: 求微分方程的特解> - ?
欧迫卡铂:[答案] 设y'=p,则y''=dp/dy*dy/dx=pdp/dy2y*pdp/dy=1+p^22pdp/(1+p^2)=dy/yln(1+p^2)=ln|y|+C1得1+p^2=Cy因为y=1,y'=-1所以C=2故y'=-√(2y-1)《想一想,为什么这里要带负号》dy/√(2y-1)=-dx√(2y-1)=-x+C'因为x=1,y=1所以C'...
五峰土家族自治县18924688165: 什么叫特解(微分方程) - ?
欧迫卡铂: 通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数. 比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数. 拓展资料:微分方程指含有未知函数及其导数的关系式.解微分方程就是找出未知函数. 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究. 参考链接:百度百科_微分方程
五峰土家族自治县18924688165: 微分方程 求下列微分方程的特解 2yy"=1+(y')² y(1)=1,y'(1)= - 1 - ?
欧迫卡铂:[答案] 设y'=p,则y''=dp/dy*dy/dx=pdp/dy 2y*pdp/dy=1+p^2 2pdp/(1+p^2)=dy/y ln(1+p^2)=ln|y|+C1 得1+p^2=Cy 因为y=1,y'=-1所以C=2 故y'=-√(2y-1)《想一想,为什么这里要带负号》 dy/√(2y-1)=-dx √(2y-1)=-x+C' 因为x=1,y=1所以C'=2 故特解为√(2y-1)=2-x ...
五峰土家族自治县18924688165: 求下列微分方程的特解 - ?
欧迫卡铂: (1)xy'+y-e^x=0 (xy)'=e^x,通解:xy=e^x+C, y(a)=b,, ab-e^a=C 特解:xy=e^x+ab-e^a (2)y'-(2/x)y=(1/2)x 由通解公式:通解:y=Cx^2+x
五峰土家族自治县18924688165: 求微分方程的特解x^2y''+xy'=1,y|(x=1)=0,y'|(x=1)=1 - ?
欧迫卡铂:[答案] 显然x≠0 xy''+y'=1/x (xy')'=1/x 两边积分:xy'=ln|x|+C1 令x=1:1=C1 所以xy'=ln|x|+1 y'=ln|x|/x+1/x 两边积分:y=(ln|x|)^2/2+ln|x|+C2 令x=1:0=C2 所以y=(ln|x|)^2/2+ln|x|
五峰土家族自治县18924688165: 一阶微分方程的特解怎么求,只要一个例题就好, - ?
欧迫卡铂:[答案] 比如y''+y=0,通解为y=C1*cosx+C2*sinx,其中C1、C2为任意积分常数,故 当取C1=1,C2=0时,有y=cosx,代入可知,y=cosx是原方程的一个特解. 事实上,你可以检验,y=0,y=sinx,y=sin(x+1),y=3cos(x+2)等等都是方程的特解.
五峰土家族自治县18924688165: 微分方程的特解存在的条件是什么 - ?
欧迫卡铂: y'=f(x,y),f在一个点的某个邻域内,连续且关于y满足liptiz条件,则在这个点的一个邻域,就存在维一解. 连续显然,只要证明Liptiz条件就行. sqrt(y2^2-9)-sqrt(y1^2-9)=(y1-y2)(y1+y2)/(sqrt(y2^2-9)+sqrt(y1^2-9)) 其绝对值<c|y1-y2| c是一个常数,所以满足,所以有唯一解.
五峰土家族自治县18924688165: 求微分方程的特解,求详细,求文字说明,非常感谢! - ?
欧迫卡铂: y'=e²ˣ⁻ʸ eʸdy=e²ˣdx 等式两边同时积分 eʸ=½e²ˣ+C y=ln(½e²ˣ+C) x=0,y=0代入,得ln(½e⁰+C)=0 C+½=1 C=½ y=ln[½(e²ˣ+1)]=ln(e²ˣ+1) -ln2
五峰土家族自治县18924688165: 微分方程的特解方程?
欧迫卡铂: y*=c1e^x+c2e^(-3x)+(1/8x^2-1/16x)e^x