微分方程的特解

微分方程的特解怎么求~

二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根
令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）
第二步：通解
1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1，C2是任意常数。
拓展资料：
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。
高数常用微分表

唯一性
存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

用换元法

针对二阶常系数线性非齐次微分方程，当非齐次项是n次多项式时，特解的情形可归纳如下：

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y''+py'+qy=f(x)
其中f(x)=Pn(x)=a0+a1x+...a(n-1)x^(n-1)+anx^n
即f(x)为x的n次多项式Pn(x)
由于多项式的导仍为多项式（只是次数降低），故y''+py'+qy=Pn(x)的特解可假设为y''(x)=Q(x)（Q(x)也是多项式）
代入特解得 Q''(x)+pQ'(x)+qQ(x)=Pn(x)

（1）若q≠0，左边的最高次为Q(x)，故Q(x)应也是n次多项式
所以设y*=Qn(x)=A0+A1x+A2x²+...+Anx^n（A0,A1,...,An为待定系数）

（2）若q=0，p≠0，则原方程为Q''(x)+pQ'(x)=Pn(x)
故应要求Q'(x)为n次多项式，即Q(x)为n+1次
所以设y*=xQn(x)

（3）若q=0，p=0，则原方程为Q''(x)=Pn(x)，应设y*=x²Qn(x)
对于这种简单的情况，可以通过两次积分求出微分方程的通解
y=∫[∫f(x)dx]dx+C1x+C2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

题目中的情况即是Pn(x)=a0+a1x+a2x²
那么可根据p,q是否为零选择不同的特解形式
1、微分方程y''-3y'+2y=1+4x+x²，可设特解y*=A0+A1x+A2x²
2、微分方程y''-3y'=1+4x+x²，可设特解y*=x(A0+A1x+A2x²)
3、微分方程y''=1+4x+x²，可设特解y*=x²(A0+A1x+A2x²)

你的情况是属于f(x)=(b0x^m+b1x^(m-1)+...+b(m-1)x+bm)e^(ax)的情况。
注：里面b(m-1)代表第（m-1)个系数，这里不能贴图只能这么表示了。
你说x的两次方，所以a=0;
1）如果特征方程里面a=0是两重根的话特解y=x^2*(b0x^2+b1x+b2),然后带入方程求出系数b0和b1,b2；
2）如果特征方程里面两个根里面有一个是0的话，特解y=x*(b0x^2+b1x+b2)；
3）a=0不是特征方程的根，那么就直接y=b0x^2+b1x+b2。

另外，我回答的是两阶常系数方程，一般考试考到这里也就差不多了。

要看是几阶方程
如果右边是x^2,那左边一般比右边高阶数次
比如如果是2阶方程就设x^4的多项式,因为做一次微分次数就减一

如果方程的左端含Y
特解设为同次多项式
如果方程的左端不含Y
特解设为同次多项式与X的乘积

http://www.efunda.com/math/ode/linearode_undeterminedcoeff.cfm
这里有一个表，都是相对应的怎么设特解方程的。

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五峰土家族自治县18924688165： 什么是微分方程的通解和特解? - ？
欧迫卡铂：[答案] 通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数.比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数.

五峰土家族自治县18924688165： 求微分方程的特解> - ？
欧迫卡铂：[答案] 设y'=p,则y''=dp/dy*dy/dx=pdp/dy2y*pdp/dy=1+p^22pdp/(1+p^2)=dy/yln(1+p^2)=ln|y|+C1得1+p^2=Cy因为y=1,y'=-1所以C=2故y'=-√(2y-1)《想一想,为什么这里要带负号》dy/√(2y-1)=-dx√(2y-1)=-x+C'因为x=1,y=1所以C'...

五峰土家族自治县18924688165： 什么叫特解(微分方程) - ？
欧迫卡铂： 通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数. 比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数. 拓展资料:微分方程指含有未知函数及其导数的关系式.解微分方程就是找出未知函数. 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究. 参考链接:百度百科_微分方程

五峰土家族自治县18924688165： 微分方程 求下列微分方程的特解 2yy＂=1+(y')² y(1)=1,y'(1)= - 1 - ？
欧迫卡铂：[答案] 设y'=p,则y''=dp/dy*dy/dx=pdp/dy 2y*pdp/dy=1+p^2 2pdp/(1+p^2)=dy/y ln(1+p^2)=ln|y|+C1 得1+p^2=Cy 因为y=1,y'=-1所以C=2 故y'=-√(2y-1)《想一想,为什么这里要带负号》 dy/√(2y-1)=-dx √(2y-1)=-x+C' 因为x=1,y=1所以C'=2 故特解为√(2y-1)=2-x ...

五峰土家族自治县18924688165： 求下列微分方程的特解 - ？
欧迫卡铂： (1)xy'+y-e^x=0 (xy)'=e^x,通解:xy=e^x+C, y(a)=b,, ab-e^a=C 特解:xy=e^x+ab-e^a (2)y'-(2/x)y=(1/2)x 由通解公式:通解:y=Cx^2+x

五峰土家族自治县18924688165： 求微分方程的特解x^2y''+xy'=1,y|(x=1)=0,y'|(x=1)=1 - ？
欧迫卡铂：[答案] 显然x≠0 xy''+y'=1/x (xy')'=1/x 两边积分:xy'=ln|x|+C1 令x=1:1=C1 所以xy'=ln|x|+1 y'=ln|x|/x+1/x 两边积分:y=(ln|x|)^2/2+ln|x|+C2 令x=1:0=C2 所以y=(ln|x|)^2/2+ln|x|

五峰土家族自治县18924688165： 一阶微分方程的特解怎么求,只要一个例题就好, - ？
欧迫卡铂：[答案] 比如y''+y=0,通解为y=C1*cosx+C2*sinx,其中C1、C2为任意积分常数,故 当取C1=1,C2=0时,有y=cosx,代入可知,y=cosx是原方程的一个特解. 事实上,你可以检验,y=0,y=sinx,y=sin(x+1),y=3cos(x+2)等等都是方程的特解.

五峰土家族自治县18924688165： 微分方程的特解存在的条件是什么 - ？
欧迫卡铂： y'=f(x,y),f在一个点的某个邻域内,连续且关于y满足liptiz条件,则在这个点的一个邻域,就存在维一解. 连续显然,只要证明Liptiz条件就行. sqrt(y2^2-9)-sqrt(y1^2-9)=(y1-y2)(y1+y2)/(sqrt(y2^2-9)+sqrt(y1^2-9)) 其绝对值<c|y1-y2| c是一个常数,所以满足,所以有唯一解.

五峰土家族自治县18924688165： 求微分方程的特解,求详细,求文字说明,非常感谢! - ？
欧迫卡铂： y'=e²ˣ⁻ʸ eʸdy=e²ˣdx 等式两边同时积分 eʸ=½e²ˣ+C y=ln(½e²ˣ+C) x=0,y=0代入,得ln(½e⁰+C)=0 C+½=1 C=½ y=ln[½(e²ˣ+1)]=ln(e²ˣ+1) -ln2

五峰土家族自治县18924688165： 微分方程的特解方程？
欧迫卡铂： y*=c1e^x+c2e^(-3x)+(1/8x^2-1/16x)e^x