高阶无穷小意味着什么
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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3. 极限极限值:对于上述例子,当x趋向于零时,我们有f(x)\/x → 1,这意味着f(x)与x是等价无穷小。这意味着在x趋向于零的过程中,f(x)的绝对值与x的绝对值的比例趋于1。4. 高阶无穷小:类似地,我们有g(x)\/x → 0,这表明g(x)是比x高阶的无穷小。这意味着在x趋向于零时,g(x...
y是x的三阶无穷小是什么意思
意思如下:y是x的三阶无穷小意味着当x趋向于某一点时,y与x之间的差异可以被一个函数h(x)表示,但是需要满足一下条件:x)是x的三阶无穷小,即当x趋向于某一点时,h(x)的极限为0。对于h(x),存在一个函数g(x),使得h(x)可以被表示为g(x)乘以x的三次方。
什么是无穷小的高阶低阶?
2、低阶就是无穷小,而无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。高阶和低阶的定义:高阶和低阶都是相对而言的,一般都是说什么...
高阶的无穷小是什么意思
以x→0时,x∧2与x两个无穷小为例,取两个的商的极限,以x∧2\/x=x,即趋近于0,因此x∧2是比x高阶的无穷小,如果等于1,即为等价无穷小,如果是无穷大,则是低级无穷小(分母相对分子)。1、如果函数f(x)在开区间(a,b)上可导,则可以求出导数f‘(x);2、如果函数f(x)在开区间(a...
高阶无穷小什么意思?
高阶无穷小意思是说在的过程中比趋向0的速度快。若lim(β\/α)=0,则称“β是比α较高阶的无穷小”。意思是在某一过程(x→x0或x→∞这类过程)中,β→0比α→0快一些。在同一个变化过程中的两个无穷小,虽然同时都趋向于零,但是它们趋向于零的快慢程度有时却不一样,甚至差别很大。实际...
低阶无穷小什么意思
低阶无穷小是数学中的概念,用于描述函数在某一点处的极限行为.下面是对低阶无穷小的解释:在数学中,如果一个函数 f(x) 在某一点 a 处的极限为零,且其极限性质比任何正整数幂函数更弱,那么我们称 f(x) 是关于 x 在 a 处的低阶无穷小.换句话说,对于低阶无穷小来说,当 x 接近 a 时,函数 ...
同阶无穷小的现实意义
当x趋近于0时,求极限 lim(tan3x\/2x)根据无穷小的概念,那就直接可以这么写 lim(tan3x\/2x)=lim(3x\/2x)=3\/2 如果,lim[a\/(b^k)]=c≠0,就说a是b的k阶无穷小。它同样是为了求极限。在求极限的过程中,可以根据无穷小进行代换,有时代换后可以约分,化简什么的,挺方便的。
五阶无穷小什么意思
某个函数或量与某常数的比较,当比值趋向于0时,比值的次数为五。具体来说五阶无穷小就是指一个函数或量在某个变化过程中,其比值与零的比值的倒数,当这个比值趋向于0时,倒数的前五项是无穷小,这个概念在微积分学中非常重要,可以帮助更好地理解函数的性质和变化规律。
什么叫同阶无穷小?
同阶无穷小是指两个无穷小量在变量趋于某一值时,它们的极限值相对于某一中间值或无穷小量来说,具有相同的数量级。具体来说,如果两个无穷小量在同一变化过程中趋于零的速度相同,则可以称它们为同阶无穷小。在数学分析中,判断两个无穷小量是否为同阶无穷小非常重要,因为它有助于我们更准确地分析...
a是b的三阶无穷小如何表示
假设a和b是两个变量,我们说a是b的n阶无穷小,记作a≡Bn,如果a\/b→0(当b→0)。这里“≡”表示等价于,“→”表示趋向。阶的概念是指,当b趋向于0时,a\/b的极限值是多少。例如,a是b的三阶无穷小意味着a\/b的极限值是0,且b→0时a\/b的变化率是3。因此,为了表示a是b的三阶无穷小...
海西蒙古族藏族自治州四方回答:[答案] 当x->x0时,f(x)=0,g(x)=0,如果当x->0时,f(x)/g(x)=0,那么称f(x)是g(x)的高阶无穷小.当x->x0时,f(x)=0,g(x)=0,如果当x->0时,f(x)/g(x)=无穷大,那么称f(x)是g(x)的低阶无穷小.当x->x0时,f(x)=0,g(x)=0,如果当x...
独钞15931829426问: 什么叫高阶无穷小?就是0么?还是负无穷? - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答:[答案] 无穷小之间的简单运算: 如果b是a的高阶无穷小,即lim(b/a)=0; 如果a与b为同阶无穷小,即lim(b/a)=c;(c≠0,c≠1) 如果a与b为等价无穷小,即lim(b/a)=1;
独钞15931829426问: 高阶无穷小是什么意思?怎么用? - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答: 首先要搞清楚高阶无穷小的定义的一个知识点,即若x→某数,f(x)是g(x)的高阶无穷小,则 称f(x)=o(g(x)),例如:若o(x^2)+o(x^3)=o(x^2) 那等式左边即为f(x),等式右边的x^2即为g(x),lim f(x)/g(x)=0其次要明白 o(x^n)表示x^n的高阶无穷小,而且x^n...
独钞15931829426问: 什么叫高阶无穷小? - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答: 高阶无穷小是一个相对量 已有f(x)为无穷小量 且x→0,lim(g(x)/f(x))=0 则称g(x)为相对于f(x)的高阶无穷小量 有不懂欢迎追问
独钞15931829426问: 高阶无穷小和低阶无穷小通俗点说就是什么意思呢?最好举个例子,说一下为什么这两个数被称作高阶无穷小或者是低阶无穷小 - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答:[答案] 就是说数量级不同,比如X平方的倒数和X的倒数,前者肯定比后者高阶
独钞15931829426问: 高数什么叫高阶无穷小 、 - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答: 答:无穷小就是以数零为极限的变量.确切地说,当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量.例如,f(x)=(x-1)2是当x→1时的无穷小量,f(1/n)=是当n...
独钞15931829426问: 高阶无穷小的定义或者概念是什么? - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答: 如果有2个无穷小量a,b 如果a/b=无穷小,那么a就叫做b的高阶无穷小 比如~~x趋向于0时,x和x^2都趋向于0,也就是无穷小 但x^2/x=x=无穷小,所以x^2就叫x的高阶无穷小 也可以理解为~~x^2比x的阶(指数)高
独钞15931829426问: 高阶无穷小的定义是什么? - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答: 当x->x0时,f(x)=0,g(x)=0,如果当x->0时,f(x)/g(x)=0,那么称f(x)是g(x)的高阶无穷小. 当x->x0时,f(x)=0,g(x)=0,如果当x->0时,f(x)/g(x)=无穷大,那么称f(x)是g(x)的低阶无穷小. 当x->x0时,f(x)=0,g(x)=0,如果当x->0时,f(x)/g(x)=k(常数),那么称f(x)是g(x)的同阶无穷小. 当x->x0时,f(x)=0,g(x)=0,如果当x->0时,f(x)/g(x)=1,那么称f(x)是g(x)的等价无穷小.
独钞15931829426问: 高阶无穷小和低阶无穷小通俗点说就是什么意思呢? - ?
海西蒙古族藏族自治州四方回答: 就是说数量级不同,比如X平方的倒数和X的倒数,前者肯定比后者高阶