证明不可约多项式的方法
设p为素数,证明: 多项式f(x)=1+x+x^2\/2!+x^3\/3!+x^4\/4!+……+x^p\/p...
这说明x-√p和x+√p都不是x^p+px+p的因式,所以x^p+px+p不含有x^2+p的任何因式作为它的因式.这就说明这两个多项式互素,即它们的最大公因式是1.另外,如果你知道Eisenstein判别法的话,那么容易判别出这两个多项式都是不可约多项式（整系数多项式环上的）,这足以说明这两个多项式是互素的.这...
判断多项式是否可约,什么时候能用判断是否有有理根的方法来判断
如果f(x)是有理数域上的二次多项式或三次多项式, 那么f(x)在有理数域上可约的充要条件是f(x)有有理根. 四次或更高就不行了.
【抽象代数】因子分解与域的扩展
我们知道,整数环中的每一个合数都可以唯一地分解成素数的乘积; 域 F 上每个次数大于零的可约多项式,都可以唯一地分解成不可约多项式的乘积。这是整数环和多项式环中元素的最基本最重要的性质之一。下面我们将把整数环和多项式环的一些性质推广到更一般通用的环上去。 环的直和分解将大环分解为小环,使得结构更加简...
如何判断多项式是否可约?
3、利用有理根，对于次数不超过三次的多项式利用有理根判别更简单，若没有有理根，则在有理数域上不可约。4、利用因式分解唯一性定理，把有理数域看成实数域的一部分，将多项式分解成实数域上不可约因式，如其不可约因式的系数不全是有理数，由因式分解唯一性定理可知，该多项式在有理数域上不...
因式分解定理
如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式 与 的最大公因式 就是那些同时在 与 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在 与 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若 与 ...
...t的特征多项式为f(a)。证明:f(a)在p上不可约的
基本上忘光了，只能给你建议个思考方向。多项式矩阵和Jordan标准型
多项式的可约性是确定不变的吗
不是。多项式的可约性不是确定不变的，多项式的可约性取决于其系数和最高次数的组合，如果多项式可以被分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称该多项式是可约的，否则称为不可约的。所以多项式的可约性不是确定不变的，而是取决于具体的系数和最高次数的组合。
不可约多项式的非零常数倍可约吗
不可约。不可约多项式的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数的多项式一定是不可约的，所以不可约。在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。
实数域上不可约多项式的类型有几种?
这个问题建议你查看一下北大版高等代数的第一章内容是有这个问题的介绍的，这个问题是很明确的只有两种：一次多项式（如ax+b，其中a，b不全为0）和二次的（如x^2+1等形式）。对于实数域上的多项式仅有一次、二次不可约多项式的证明可以用归纳法来证明的：1）对于n次多项式，当n=1,2时显然成立。
证明f(x)=2x³-9x+3在有理数域上不可约
运用艾森斯坦判别法即可：艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式f(x)=(a_n)*(x^n)+(a_n-1)*[x^(n-1)]+…+a_0 如果存在素数p，使得 p不整除a_n ，但整除其他a_i，i=0,1,...,n-1 ； p^2 不整除a_0 ， 那么f(x) 在有理数域上不可约。
丁青县骨通回答： 实际上,可约多项式就是可以在某个要求的范围内(如整系数多项式)可以被因式分解的多项式,所以如果你发现它可以被因式分解,那么它一定是一个可约多项式.另一方面,我们还有很多方法可以判断它是一个不可约的多项式(如果你找很久也没有找到分解因式的方法的话),例如:1.在模某个数的意义下分解,如果某个多项式可以被因式分解,那么它在模任何一个正整数m的意义下仍可以被因式分解,一般模素数p,更简单的有时可以模2;2.考虑艾森斯坦判别法,它的内容是:对f(x)=anx∧n+an-1x∧n-1+......+a1x+a0,若存在素数p,使p不整除an,而且任意ai(0≤i≤n-1),p|ai,而且p²不整除a0,那么f(x)是不可约多项式
荣辉18314651255问： 不可约多项式的证明如何证明一个多项式在一个域里是不是不可约?如在F3[X]中x3+x+1是不是可约 - ？
丁青县骨通回答：[答案] 很一般的问题应该是没有什么万能的办法的,只能说有限域上可以穷举 对于特殊的问题可以视情况而定,比如你这个例子,显然x+2是一个因子(三次多项式若可约必定有一次因子,试一下就出来了)
荣辉18314651255问： 设多项式f(x)=x4+4kx+1(k为整数),证明f(x)在有理数域Q上不可约. - ？
丁青县骨通回答：[答案] 证明:若f(x)有有理根,则有理根只可能±1,但f(±1)=2±4k≠0, 因此f(x)无一次因式 若f(x)可约,则只能是分解成两个二次因式的乘积 又f(x)是整系数多项式,因此f(x)可化为两个整系数的二次因式的乘积 不妨设,f(x)=(x2+ax+1)(x2+bx+1)=x4+(a+b)x3+(2+...
荣辉18314651255问： 不可约多项式证明:当P为素数时,f(x)=1+2x+.+(p - 1)x^p - 2在有理数域上不可约 - ？
丁青县骨通回答：[答案] 令g(x)=1+x+x^2+...+x^(p-1),则f(x)=g'(x). 考察g(x+1)=x^(p-1)+C(p,1)x^(p-2)+C(p,2)x^(p-3)+...+C(p,p-1),其中C(n,m)是n取m的组合数.对f(x+1)=g'(x+1)和素数p使用Eisenstein判别法即得结论.
荣辉18314651255问： 证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约大学高等代数求帮助! - ？
丁青县骨通回答：[答案] 一个3次多项式若在有理数域上可约则必含有有理的1次因子. 换句话说必须有有理根. 假设f(x)有有理根p/q,其中p,q为互质的整数. f(x)作为整系数多项式,可以证明p整除常数项,而q整除首项系数. 对f(x) = x^3+3x+1来说,只有p/q = 1或-1. 但容易验证1和-...
荣辉18314651255问： 证明不可约多项式p(x)没有重根 - ？
丁青县骨通回答：[答案] 用反证法.设p(x)是数域F上的不可约多项式.假设a是p(x) (在复数域内)的重根,则有p(a) = 0,p'(a) = 0 (p'(x)为p(x)求导得到的多项式).若p(x)与p'(x)互素,则存在u(x),v(x) ∈ F[x]使得u(x)p(x)+v(x)p'(x) = 1,代入x = a...
荣辉18314651255问： 不可约多项式的证明 - ？
丁青县骨通回答： 很一般的问题应该是没有什么万能的办法的,只能说有限域上可以穷举对于特殊的问题可以视情况而定,比如你这个例子,显然x+2是一个因子(三次多项式若可约必定有一次因子,试一下就出来了)
荣辉18314651255问： 怎么证明有理系数多项式f(x)不可约的充要条件是f(ax+b)不可约?高等代数的牛顿有理根定理类似 - ？
丁青县骨通回答：[答案] 条件应该有a,b都是有理数且a ≠ 0.证明其实不难.充分性可表述为:若f(x)可约,则f(ax+b)可约.由f(x)可约,可设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)是次数不小于1的有理系数多项式.于是f(ax+b) = g(ax+b)h(ax+b).而a,b都是有...
荣辉18314651255问： 证明多项式f(x)=1 - (x - 1)(x - 2)(x - 3)……(x - n)在有理数域上不可约 - ？
丁青县骨通回答： 方便起见, 不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.用反证法, 假设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x), h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.由Gauss引理, 不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.依次带入x = 1, 2,..., n, 可知g(k)h(k) = f(k) = -1...
荣辉18314651255问： 证明多项式在有理数域上不可约x^6+x^3+1 ？
丁青县骨通回答： 证明: 艾森斯坦判别法. 设f(x)=a1x^n+an-1x^(n-1)+……a1x+a0是整系数多项式.如果存在一个质数p满足以下条件:一、p不整除an;二、p整除其余的系数(a0,a1,…,an-1);三、p^2不整除a0.那么,f(x)在有理数集内不可约. 令x=y+1, 则x^6+x^3+1 =(y+1)^6+(y+1)^3+1 =y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3 由艾式判别法(取p=3)可知这个多项式是既约多项式 即此多项式在有理数域上不可约
