第一重要极限公式推论
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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lim((sinx)\/x)=1(x->0)，lim(1+(1\/x))^x=e(x→∞)。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘...
可以用重要的极限公式吗?
（1）-x<=xsin1\/x<=x因此-x在X趋近于0 的时候的极限<=xsin1\/x 在X趋近于0 的时候的极限<=x在X趋近于0 的时候的极限,所以0<=xsin1\/x 在X趋近于0 的时候的极限<=0;因此xsin1\/x 在X趋近于0 的时候的极限=0。-1<=sinx<=1,因此-1\/2x²+1<=sinx\/2x²+1<=1\/2x&#...
怎样证明两个重要极限的公式?
第一个：x趋近于0时，sinx\/x的极限为1。第二个：n趋近于无穷大时,（1+1\/n）的n次方的极限为e。两个重要极限的公式本身十分简单， 但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想。在研究函数...
高数的两个重要极限的问题?
利用lim(1+1\/x)^x=e的公式求解。
这个式子用第一个重要极限公式怎么求,见图
先算分子 tanx-sinx =sinx(1\/cosx-1)=sinx(1-cosx)\/cosx =sinx(1-cosx)所以原式 =lim sinx(1-cosx)\/x³因sinx\/x=1 所以 =lim (1-cosx)\/x²又因为两倍角公式 cos2a=1-2sin²a 所以1-cosx=2sin²(x\/2)原式=2sin²(x\/2)\/x²=2sin²(...
两个重要极限是什么?公式什么?
两个重要极限是：正弦函数与角度的比值极限和函数与其导数的比值极限。以下是 正弦函数与角度的比值极限：在自变量趋于某个值时，正弦函数值与这个值的比值极限，当自变量趋于零时的极限值是该函数对应的三角函数值。公式为：lim sinx\/x = 1。这是微积分中的基础极限之一，其求解涉及到了泰勒展开式和...
极限有几个重要极限的公式?
第二个重要极限的公式：lim (1+1\/x) ^x = e（x→∞）当 x → ∞ 时，（1+1\/x）^x的极限等于e；或 当 x → 0 时，(1+x）^（1\/x）的极限等于e。第二个要看场合，在整体乘除运算时等价无穷大可以替代，加减运算不能替代。在幂指函数求极限中不能代替，因为取对数时除法变减法，...
高等数学极限的几个重要公式
两个重要极限：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在...
高等数学重要极限公式
故不管x趋向于神马，lim[f(x)g(x)]=AB。当然，这种证明是假定楼主知道无穷小的概念，以及无穷小与无穷小或常数的乘积仍然为无穷小这两个定理的。如果不知道的话，具体的证明应当是这样。（假定为x趋向x0时的极限）假设f(x),g(X)极限存在且分别为A,B 则对任意的ε>0，存在δ1,δ2使得x在x...
求两个重要极限的3个推理公式
M只需要满足|f（x）|≤M即可。满足要求的M将有无数个。如以f（x）=sinx为例 |sinx|≤1当然是成立的，所以取M=1是可以的，这就证明了f（x）=sinx是有界的。但是如果取M=1.5 那么|sinx|≤1.5当然也是成立的，定义中，没要求等于号必须要有成立的机会，也没要求M必须是符合条件的最小的...
湖口县甲磺回答： 【【【】】】 lim(x-->oo) (1+1/x)^(kx)=e^k lim(x-->o) e^x=lim(x-->0)1+x(反向运用)
友泽19667837452问： 两个重要极限是什么?公式什么?？
湖口县甲磺回答： 两个重要极限公式:第一个重要极限公式是:lim((sinx)/x)=1(x->0),第二个重要极限公式是:lim(1+(1/x))^x=e(x→∞).极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变...
友泽19667837452问： 重要极限公式什么情况不能用 ？
湖口县甲磺回答： 第一个重要极限的公式:lim sinx / x = 1 (x->0),当x→0时,sin / x的极限等于1.特别注意的是x→∞时,1 / x是无穷小,根据无穷小的性质得到的极限是0.第二个重要极限的...
友泽19667837452问： 第一个重要极限公式中的sinx如果和x上下颠倒结果任然为1吗 - ？
湖口县甲磺回答： 1. 1的倒数仍是1,将重要极限等式两边取倒数,就得到你要的结果.2. 应用等价无穷小的概念来理就更简单了,当x趋近于0时,sinx趋近于x,不论sinx在分式的分子还是分母,都可以用它的无穷小x来代换,显然极限为1.
友泽19667837452问： 求极限两个重要公式到底是X趋于0还是无穷 - ？
湖口县甲磺回答： 答:这两个公式:1、lim(x→0)sinx/x=1;2、lim(x→+∞)(1+1/x)^x=e.或者 lim(n→+∞)(1+1/n)^n=e.这两个公式比较容易记住:因为:lim(x→0)(1+1/x)^x=1;lim(x→∞)|sinx/x |<=lim(x→∞)|1/x |=+∞; 从这里也可以推论出上面的两个公式.
友泽19667837452问： 如何证明高等数学两个重要极限公式 - ？
湖口县甲磺回答：[答案] 两个都可以用导数的定义来证明,或者是洛必达法则. 第一个是sinx在(0,0)处的导数. 第二个先取对数In,是In(x+1)的导数,算出来是1,结果是e∨1.
友泽19667837452问： 第一重要极限与等价无穷小替换 - ？
湖口县甲磺回答： 2、因为当x->0时,sinx~x 所以原式=lim(x->0) xsin(1/x) 因为x是无穷小量,sin(1/x)是有界量,根据无穷小量与有界量的积仍旧是无穷小量的定理 原式=0 3、令t=1/x 原式=lim(t->0) sint/t=1 (第一重要极限) 4、令t=1/x^2 原式=lim(t->0) sint/t=1 (第一重要极限)
友泽19667837452问： 高等数学极限的几个重要公式 - ？
湖口县甲磺回答： 两个重要极限: 设{xn}为一个无穷实数数列的集合.如果存在实数a,对于任意正数ε (不论其多么小),都∃N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn} 收敛于a. 如果上述条件不成立,...
友泽19667837452问： 为什么lim(x→0) x*sin 1/x=0而lim(x→0) 1/x*sin x=1 - ？
湖口县甲磺回答： 不是的. lim sinx/x=1 x→0 高中两个重要极限的第一个,属于高中基础知识.推论: lim sin(1/x)/(1/x)=1 x→∞ 即:x→∞时,sin(1/x)~(1/x),而不是0 本题: lim [(5x2+1)sin(1/x)/(3x-1) +(x+1)sinx/x2] x→∞ =lim [(5x2+1)/(3x2-x) +(1+ 1/x)(sinx/x)/1] x→∞ =lim [(5+ 1/x2)/(3- 1/x) +(1+ 1/x)(sinx/x)] x→∞ =(5+0)/(3-0) +(1+0)·0 =5/3 +0 =5/3
友泽19667837452问： 高数函数极限的推论方法 - ？
湖口县甲磺回答： (1) 分母极限为 0, 分式极限存在, 则分子极限为 0. 由罗必塔法则,原式 = lim<x→1>(2x+a)/(-1) = -(2+a) = 5, 则 a = -7. lim<x→1>(x^2-7x+b) = -6+b = 0, b = 6. (2) 原式 = lim<x→∞>[x^2+1-(ax+b)(x+1)]/(x+1) = lim<x→∞>[(1-a)x^2-(a+b)x+1-b]/(x+1) = lim<x→∞>[(1-a)x-(a+b)+(1-b)/x]/(1+1/x) = 0 则 1-a = 0, a+b= 0. 得 a = 1, b = -1
