平面的法向量就是系数

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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如何求出平面的法向量?
二、点法式 n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 [1]三点求平面可以取向量积为法线 任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个...

老师您好,我想知道在立体几何中,一个面的法向量应该如何去设?_百度知 ...
这个要具体情况具体分析，在立体几何里肯定是先设了空间直角坐标系，找到这个面上的两个不平行的向量，再设它的法向量为[x,y,z]，三个未知数，两个方程，应该解的出来。我觉得向内外自己看看就知道了【我是这样想的】

怎么确定一个平面的方向呢?
已知平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 和 D 是常数，表示平面的法向量和截距。与给定平面垂直的平面可以通过以下步骤确定：找到给定平面的法向量。由于方程中的系数 A、B 和 C 表示法向量的分量，所以法向量为 (A, B, C)。寻找垂直于给定平面的法向量。如果给定平面的法...

两平面的角线的方向向量如何确定?
平面1：a1x + b1y + c1z + d1 = 0 平面2：a2x + b2y + c2z + d2 = 0 接下来，我们需要找到两个平面的法向量。法向量是垂直于平面的向量，其分量就是平面方程中的系数。因此，平面1的法向量可以表示为 (a1, b1, c1)，平面2的法向量可以表示为 (a2, b2, c2)。现在我们需要找到...

如图所示,已知平面方程求z的值?
结果为：2x-y-z=0 解题过程如下：解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 ∵过点M1，M2 ∴有A+B+C+D=0和B-C+D=0 所求平面垂直于已知平面，即两平面的法向量相互垂直 ∴A+B+C=0 解得D=0，B=-A\/2，C=-A\/2 取A=2 则B=C=-1，D=0 ∴平面方程为2x-y-z=0 ...

知道平面的法向量,和一个点的坐标,求点到平面距离怎么求?
平面的法向量A（a,b),一个点B（m,n)d=向量A*向量B\/向量B的莫 向量B就是向量OB，就是（m,n)啰，还有什么不会呢？

平面的法向量怎么求
直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。待定系数法：建立空间直角坐标系。①设平面的法向量为n=（x，y，z）。②在平面内找两个不共线的向量a和b。③建立方程组：n点乘a=0，n点乘b=0。④解方程组，取其中的一组解即可。法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所...

如何用空间向量求面的法向量
面的法向量垂直于面,也就是垂直于面上所有向量 互相垂直的向量点积为0 因为面上向量随便取,所以可以另x,y,z中一个值是0就行了

垂直证明问题
给你个万能的...向量,坐标 线线就直接两向量坐标相乘就可以了 等于0就是垂直了 线面的话 就先求出面的法向量 然后道理同上 面面的话就是先求得两个面的法向量 然后同一 PS: 求面的法向量时用待定系数法 设一任意向量 然后与所要求的面内的两相交向量垂直联立方程 再任取一组数据即可 ...

请问,对于曲面z=f(x,y),它的法向量为什么是(Zx,Zy,-1)?
z)=0,其中F可微，则曲面的法向量=（F′x，F′y,F′z）,你问的曲面形式是z=f(x,y），不是定义用的形式，不能直接套用定义，需要转换成F(x,y,z)=f(x,y）-z，或者F(x,y,z)=z-f(x,y），然后就可以求出法向量，-1就是F(x,y,z)关于z求偏导数时，F′z=（-z）′=-1 ...

良艺18395073816问： 平面方程和法向量的关系及证明 - ？
华池县同欣回答： 所谓平面的法向量,就是与平面垂直的一个向量,它就是由平面方程中三个未知数的系数所组成的向量.它们的关系可如此证明:设向量(A,B,C)是一个过点(x0,y0,z0)的一个法向量,则它与平面上的所有向量均垂直.平面上的向量均可表示为:(x-x0,y-y0,z-z0),因为向量(A,B,C)与向量(x-x0,y-y0,z-z0)垂直,所以其数量积为0,即:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0整理得:Ax+By+Cz+D=0可见,标准方程中,三个未知数的系数所组成的向量(A,B,C),就是平面的一个法向量.

良艺18395073816问： 空间向量中,如何求平面的法向量 - ？
华池县同欣回答： 已知一个平面的两个法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均为已知 设平面法向量为n=(x,y,z) n为平面的法向量则 n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0 n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0 两个方程,三个未知数x,y,z 故设出其中一个,例如设x=1(不能为0),从而求出y,z的值,即可得到平面的一个法向量,因为平面的法向量有无数个,且模可以任意,故可以这样假设

良艺18395073816问： 平面法向量. - ？
华池县同欣回答： 其实一个平面有无数法向量,这些法向量都平行. 任意一个平面:ax+by+cz+d=0,取一组数x0,y0,z0满足该方程,则: ax0+by0+cz0+d=0,两式相减得:a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,这就是平面的点法式方程 表示过点(x0,y0,z0),以n=(a,b,c)为法线的平面.ax+by+cz+d=0就是平面的一般方程 记住:方程中x,y、z的系数就是该平面的一个法向量 你的方程就是这样的,故平面的一个法向量:n=(1,3,2),但这不是唯一的 像3n=(3,9,6)也是.

良艺18395073816问： 3维空间平面法向量怎么求 - ？
华池县同欣回答： 平面 Ax+By+Cz+D = 0 的法向量就是 x、y、z 的系数, 也即(A,B,C).

良艺18395073816问： 平面法向量求法 - ？
华池县同欣回答： 有的,这是标准的方法,你的方程为:Ax+By+Cz+D=0 是平面的一般方程,x、y、z的系数就是平面的一个法向量 但不是唯一的.

良艺18395073816问： 平面2x+y - 3z+1=0的法向量 - ？
华池县同欣回答： (2,1,-3),所谓的平面的法向量就是x,y,z前面的系数组成的向量啊

良艺18395073816问： 法向量的定义是什么? - ？
华池县同欣回答： 法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量;因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.概...

良艺18395073816问： 平面y+2z - 2=0的法向量为什么是它前面的系数. - ？
华池县同欣回答：[答案] 若一个平面为:aX + bY + cZ = d 则aΔX + bΔY + cΔZ = 0 (a,b,c) (ΔX,ΔY,ΔZ) = 0 所以法向量是(a,b,c)

良艺18395073816问： 平面x+y+z - 1=0的法向量 - ？
华池县同欣回答： 就是(1,1,1),x,y,z前面的系数就是法向量的坐标

良艺18395073816问： 怎样求平面法向量,请说明具体方法!谢谢! - ？
华池县同欣回答： 向量BA=(1,0,-1),向量BC=(0,1,1) 设法向量p=(a,y,z) p与BA,BC都垂直 x-z=0,y+z=0 x=-y=z 取一组非零解,x=1,y=-1,z=1 所求法向量(1,-1,1) 知道平面里的2条向量后、都垂直、、

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