定积分求极限公式方法

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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微积分基本公式 求极限
显然分子分母都趋于0，所以可以利用洛比达法则，对分子分母分别求导 分子求导后得到sin(x^2),分母得到1-cosx 又sin(x^2)~x^2, 1-cosx = 2(sin(x\/2))^2 = x^2\/2 得到原极限为2

定积分求极限,换元后的积分上限是怎么得的0?倒数第二行最后一项是怎么得...
简单分析一下即可，详情如图所示

利用定积分求极限
用罗贝塔法则，这个是变上限积分求导 分子求导 [∫ √tant dt (sinx 0)] ' = cosx 乘以 √tan(sinx)分母求导 [∫ √sint dt (0 tanx )] ' = - 1\/(cos x )^2 乘以 √sin(tanx)分子分母求导后 原式= - (cos x)^3 乘以 √tan(sinx) \/ √sin(tanx)x趋...

定积分定义求极限
球带有定积分的极限，首先当x趋于0时，上限x无限趋于下限0，所以变上限定积分的值无限趋于0，因为当定积分的上限和下限相等时，定积分的值为0。定积分数学定义：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点xi将区间[a，b]分为n个小区间，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ri（i=1，2，3，n...

定积分的定义怎么求极限
洛必达法则。此法适用于解0\/0型和8\/8型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式，任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。定积分法：此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一...

利用定积分求极限
解：先从极限的性质来看，分子分母都趋近于0，而且符合洛必达法则条件，所以用洛必达法则：分子分母求导，由变上限积分的公式（微积分学基本公式），得

为什么积分可以求极限?
1\/(n+1) + 1\/(n+2) ...+1\/（n+n) = (1\/n) [1\/(1+1\/n) +1\/(1+2\/n) +... +1\/(1+n\/n)]如果设1\/n=dx, 则上极限恰好是1\/(1+x)在(0,1)上的定积分公式。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实...

微积分极限等于什么?
微积分等价替换公式如下：当x→0，且x≠bai0，则x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx。x~ln(1+x)~(e^x-1)。(1-cosx)~x*x\/2。[(1+x)^n-1]~nx。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限...

如何用泰勒公式求极限?
微积分中，等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。求极限时，使用等价无穷小的条件 ：被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。x -> 0 时，sinx - x ~ -...

定积分求极限问题。
如图，利用换元法来证明。

犹邵19363783408问： 含有定积分的极限怎么求 - ？
吴桥县参芪回答： 答案如下图所示: 当极限的表达式里含有定积分时,常将这种极限称为定积分的极限.对于这类定积分的极限,以往求极限的各种方法原则上都是可用的. 所不同的是,这类极限问题往往需要充分应用积分的各种特性和运算法则等,有时也可将问题转化为某函数的积分和或者达布和的极限,从而转化为新的定积分问题. 一般定理 定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积. 定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积. 定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积.

犹邵19363783408问： 定积分和式极限公式 ？
吴桥县参芪回答： 定积分和式极限公式是lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限.这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式).一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分.一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在.

犹邵19363783408问： 对定积分求极限怎么做?？
吴桥县参芪回答： x→0时,积分上限x→0,这样积分上下限相等,根据牛顿-莱布尼茨法则,结果为 0. 0<被积函数<(1/2)^n,故0<积分值<(1/2)^(n+1),夹逼定理有极限为0.拓展资料: 定积分数学定义: 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点xi将区间...

犹邵19363783408问： 寻求利用定积分求极限的方法 - ？
吴桥县参芪回答： 根据定积分定义反推就可以明白了一般来说,首先要是连加和的形式,定积分就是经过划分后每个区间上取一个值乘以区间长度的和嘛,所以一定要有连加和其次要可以提取n分之一或者类似n分之一(如2n分之一),因为定积分的划分一般都是等分的,不等分太难计算了第三,提取n分之一后要可以化成一个统一的形式,最后写成积分的形式,最后,给你个例子

犹邵19363783408问： 定积分求极限 - ？
吴桥县参芪回答： 同样积分区间,对sinx在π/3的值,即二分之根号三的n次幂求积分,该积分极限为零,和原积分比较大小可得,原积分为零,

犹邵19363783408问： 数学极限中的用定积分求数列极限的方法,举个例子说说 - ？
吴桥县参芪回答：[答案] 参看图片解释,点击放大,再点击再放大.如果还需要例题,请说明.

犹邵19363783408问： 求数列极限的几种方法 - ？
吴桥县参芪回答：[答案] 摘要:本文介绍了计算极限的几种方法,讨论如何用定积分、幂级数、微分中值定理、O-Stolz公式、泰勒展式等方法计算极限.关键词:计算极限;定积分;幂级数;泰勒展式1. 引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性,从而...

犹邵19363783408问： 利用定积分求极限 - ？
吴桥县参芪回答： 用罗贝塔法则,这个是变上限积分求导 分子求导 [∫ √tant dt (sinx 0)] ' = cosx 乘以 √tan(sinx) 分母求导 [∫ √sint dt (0 tanx )] ' = - 1/(cos x )^2 乘以 √sin(tanx) 分子分母求导后 原式= - (cos x)^3 乘以 √tan(sinx) / √sin(tanx) x趋向于0+,所以 - (cos x)^3= -1 ,sinx与tanx等价无穷小于x,所以 √tan(sinx) / √sin(tanx) = √tanx / √sinx = 1 / √cosx =1 所以原式= -1

犹邵19363783408问： 高人求救,极限怎么求定积分啊? - ？
吴桥县参芪回答： 先把1/n放到根号里面,变成(1/n)^n,给每一项除以一个n,这样根号下变成 1(1+1/n)(1+2/n)...(1+(n-1)/n) 设上式极限结果为y,取对数得: lny=lim {1/n*[ln(1+0/n)+ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+(n-1)/n]} =lim {1/n*∑ln(1+(i-1)/n) } i=1到n =∫ ln(1+x)...

犹邵19363783408问： 定积分极限求解 - ？
吴桥县参芪回答： 趋于正无穷. 因为原式即为(令s=1/t) ∫cos(2/s)ds 而 cos(2/s)→1 ,s→+∞

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