多元函数的二阶偏导公式
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。...
如何推导二阶偏导数公式呢?
高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
二阶偏导数的公式详解是什么?
a2z／axay解：az／ax＝f1＋3f2a2z／axay＝（f11＊2y－2f12）＋3（f21.2y－2f22）如果f1是z对第一个中间变量u的偏导数az／au＊au／ax，那么f1...设z＝f（x＋y2，3x－2y），f具有二阶连续偏导数，求az／ax，a2z／axay
二元函数的二阶偏导数如何计算?
高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
二阶偏导数怎么求?是进行二次求导吗?
在这里我们也有很多有关于二阶偏导的公式要求你记下来，因为在我们学习二阶偏导的过程当中，不仅仅要把自己的目光集中在解题当中，也要适当的对公式进行记忆，否则的话我们在解决二阶偏导的时候会由于对公式的不了解而无法解决二阶偏导的问题。（1）∂z\/∂x=[√(x²+y²...
求z= f(x)的二阶偏导数。
1、在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导,然后再解出Z关于X的一阶偏导。2、在在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导.此方程当中一定既含有X的一阶偏导,也含有二阶偏导.最后把1中解得的一阶偏导代入其中,就能得出只含有二阶偏导的方程.解出即可。
多元函数微分:二阶偏导连续,混合偏导数就一定相等吗?为什么?
一定相等。因为先对x求偏导或是先对y求偏导没有区别，对x求偏导时y看作常数，对y求偏导x看作常数。所以无论先对哪个求导结果一样。
求二元抽象函数的二阶偏导数公式,或者告诉我已求二元抽象函数的一阶
如上图所示。
多元函数二阶连续可偏导是什么意思
多元函数二阶连续可偏导是什么意思 我来答 1个回答 #热议# 普通人应该怎么科学应对『甲流』?亥巍然4E 2023-03-28 · TA获得超过136个赞 知道答主 回答量:139 采纳率:80% 帮助的人:41.1万 我也去答题访问个人页 关注 展开全部 已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是? 评论 收起 ...
二元函数的二阶偏导数怎么算?
偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
合川市爱欣回答：[答案] 二元隐函数 z=f(x,y) ＂求一阶时,能把Z看作常数对X求偏导＂ 是指: 令 F(x,y,z)=f(x,y)-z,F'=∂f/∂x,F'=∂f/∂y,F'=-1,则 ∂z/∂x=-F'/F'=∂f/∂x,∂z/∂y=-F'/F'=∂f/∂y, 注意,这里是 F(x,y,z) 求一阶偏导数时,是把Z看作常数,将 F(x,y,z) 分别对X,y求偏导...
敞佩13691028052问： 复合函数的二阶偏导数怎么求?u=f(x^2+y^2) 求a^2u/ax*ay 和a^2u/ay^2谢谢啦 - ？
合川市爱欣回答：[答案] a^2u/ax*ay=a(au/ax)/ay=a[af(x^2+y^2)/ax]/ay, a^2u/ay^2=a(au/ay)/ay=a[af(x^2+y^2)/ay]/ay, 由于函数很笼统,我无法给出具体答案.. 不知道是不是你想要的..
敞佩13691028052问： 多元函数隐函数微分 二阶偏导的求法例如:Z^3 - 2XZ+Y=0 的四个二阶偏导 - ？
合川市爱欣回答：[答案] 只有三个二阶偏导,∂²z/∂x²,∂²z/∂y²,∂²z/(∂x∂y),(∂²z/(∂x∂y)和∂²z/(∂y∂x)是等价的,与求偏次序...
敞佩13691028052问： 多元隐函数 2阶求导怎么求啊?? - ？
合川市爱欣回答： 对x求导.把Z看成X的函数.Y看成常数 3z^2*(z对x偏导)-3yz-3xy*(z对x偏导)=0-->解出(z对x偏导)=yx/(z^2+xy)同上可求得(z对y偏导)=... 再把上式接着对y求偏导 6z*(z对x偏导)*(z对y偏导)+3z^2*(z对x对y二阶偏导)-3z-3y*(z对y偏导)-3x*(z对x偏导)-3xy*(z对x对y二阶偏导)=0 将求得的(z对x偏导),(z对y偏导)代入上式.可得(z对x对y二阶偏导)
敞佩13691028052问： 函数的二阶偏导数求法,列入函数(X^2*Y+Y)^4求次函数的一阶偏导数和二阶偏导数请给出详细步骤和应用了什么公式, - ？
合川市爱欣回答：[答案] f=(x^2y+y)^4=(x^2+1)^4*y^4 f'x= 4(x^2+1)^3*2x*y^4=8x(x^2+1)^3 *y^4 f'y=4y^3(x^2+1)^4 f＂xy=8x(x^2+1)^3*4y^3=32xy^3(x^2+1)^3 f'xx=8y^4[ (x^2+1)^3+3x(x^2+1)^2*2x]=8y^4(x^2+1)^2(7x^2+1) f'yy=12y^2(x^2+1)^4
敞佩13691028052问： 多元函数的二阶全微分公式是什么? - ？
合川市爱欣回答： 具体回答如下: 若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D,通过对应规则f,都有唯一确定的实数y与之对应,则称对应规则f为定义在D上的n元函数. 记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D. 变量x1,x2,…,xn称为自变量,y称为因变...
敞佩13691028052问： 一阶偏导数公式 - ？
合川市爱欣回答： 一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定.对某个变量求偏导数.就把别的变量都看作常数即可.比如f(x,y)=x^2+2xy+y^2 对x求偏导就是f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在...
敞佩13691028052问： 二元函数f(x,y)的累次积分的求偏导法则是什么? - ？
合川市爱欣回答： 对x求偏导得到 f'x=f1' +f2' *1/y 对y求偏导得到 f'y=f2' *(-x/y^2) 于是求二阶偏导数得到 f''xx=f11'' +f12'' *1/y +(f21'' +f22'' *1/y) *1/y f''xy=f12'' *(-x/y^2) -f2' *1/y^2 +f22'' *(-x/y^3) f''yy=f22'' *x^2/y^4 +2f2' *x/y^3
敞佩13691028052问： 求所有二阶偏导数,要过程 - ？
合川市爱欣回答： z=arctan(y/x) 那么∂z/∂x =1/(1+y²/x²) *∂(y/x)/∂x =x²/(x²+y²) *(-y/x²) = -y/(x²+y²) 再继续对y 求偏导, 得到 ∂²z/∂x∂y =[-(x²+y²)+y*2y]/(x²+y²)² =(y²-x²)/(x²+y²)²
敞佩13691028052问： 下面的二阶偏导如何计算 - ？
合川市爱欣回答： 这里都是二阶偏导, 1、?z/?x=y *f1' ?z/?y=x *f1' +f2' 所以得到二阶偏导 ?2z/?x2=y2 *f11'' ?2z/?x?y=f1' +xy *f11'' +y*f12'' ?2z/?y2=x2 *f11''+x *f12'' +f21'' *x +f22''=x2 *f11''+2x *f12'' +f22'' 2、?z/?x= f1' +f2' *1/y ?z/?y=f2' *(-x/y2) 所以得到二阶偏导 ?2z/...
