向量积的垂直与平行公式

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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向量a平行向量b的公式和垂直公式分别是什么?
向量a平行向量b的公式和垂直公式分别为：两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　a•b=0，坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a\/\/b当且仅当x1y2-x2y1=0，a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0。向量的垂直公式为：a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1...

数量积与向量积如何判断平行与垂直?
数量积为0则垂直，数量积等于两向量模（长度）的平方之积则平行，此时它们夹角为零，cos A = 1(A为两向量夹角)数量积 (a,b) = a长度 * b长度*cos 向量积 |a^b| = a长度*b长度*sin

什么是向量平行的判断公式?
两个空间向量a和b平行的条件是它们的方向相同或相反。可以使用向量的数量积（内积）来判断两个向量是否平行。如果两个向量的数量积为零，那么它们是垂直的；如果数量积不为零，那么它们平行。数学表达式为：a×b=∣a∣×∣b∣×cos（θ）。a×b表示向量a和向量b的数量积，∣a∣和∣b∣分别表示向...

数学向量的基本公式,平行垂直等
两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　a•b=0 坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)a\/\/b当且仅当x1y2-x2y1=0 a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

向量平行与向量垂直的公式
两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　a•b=0 坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)a\/\/b当且仅当x1y2-x2y1=0 a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

向量平行公式?
向量之间的垂直与平行关系可以用数学公式精确描述。当两个向量a=(x, y)和b=(m, n)处于垂直状态时，它们的数量积a·b等于0，即xm+yn=0，这是判断它们垂直的充分必要条件。而当向量a与b平行时，其交叉积a×b等于0，即xn-ym=0。这是一种直观的检验方法，表明两个向量的方向线在同一平面上，...

向量平行和垂直公式
两个向量a，b垂直：数量积为0，即a•b=0。坐标表示：a=（x1，y1），b=（x2，y2）。两个向量a，b平行，即a\/\/b当且仅当x1y2-x2y1=0；两个向量a，b垂直，即a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0。平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有...

向量平行与向量垂直的公式
两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　a•b=0 坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)a\/\/b当且仅当x1y2-x2y1=0 a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

平面向量数量积的应用
2、判断向量垂直和平行关系：两个向量垂直的条件是它们的数量积等于0，即a·b=0。判断两个向量是否平行则是通过判断它们的数量积是否等于它们的模的乘积，即a·b=|a||b|，如果成立，则表示它们是平行的。3、判断向量的方向：两个向量之间的数量积可以表示向量之间的相对方向。当a·b>0时，表示...

向量平行公式和垂直公式是什么?
至于平行，向量a与b平行（记作a\/\/b）意味着它们的叉积（外积）a×b等于0，即xn-ym=0。这个条件表示两个向量在二维空间中没有交点，平行线性质在此得到体现。向量的概念源于物理学，比如力、速度等物理量，古希腊学者亚里士多德最早认识到力可以表示为向量。后来，向量的概念通过牛顿等科学家的贡献，...

菜易17082815265问： 向量垂直与平行计算方法 - ？
新荣区小儿回答： 简单点说,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=kx+b上的两点那么称向量AB=(x2-x1,y2-y1)是直线y=kx+b的方向向量直线的斜率k与它的方向向量AB之间的关系是:k=(y2-y1)/(x2-x1),x2≠x1===========================在解析几何中,直线的平行(k1=k2)与垂直(k1*k2=-1)问题,可以利用上面的关系式转化为向量的平行与垂直问题来计算.

菜易17082815265问： 向量平行,垂直的公式 - ？
新荣区小儿回答：[答案] 两个向量a,b平行:a=λb (b不是零向量);两个向量垂直:数量积为0,即 a•b=0 坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2) a//b当且仅当x1y2-x2y1=0 a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

菜易17082815265问： 向量平行公式和向量垂直公式 - ？
新荣区小儿回答：[答案] 设向量(x1,y1),(x2,y2),那么向量平行:x1y2=x2y1向量垂直:x1x2+y1y2=0

菜易17082815265问： a b 向量平行和垂直的公式事什么?就是X 和Y 的那个 - ？
新荣区小儿回答： 设向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2). 若向量a与向量b平行,则x1y2=x2y1 若向量a与向量b垂直,则x1x2+y1y2=0

菜易17082815265问： 两个向量,互相平行,垂直的公式? - ？
新荣区小儿回答： a,b是两个向量 a=(a1,a2) b=(b1,b2) a//b:a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数 a垂直b:a1b1+a2b2=0

菜易17082815265问： 向量公式包括垂直与平行 - ？
新荣区小儿回答： 向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2).a⊥b,即有a*b=0.即x1y1+x2y2=0.[这里的a*b是向量a和向量b的数量积,也称为点积] a∥b,即有x2=kx1,y2=ky1.

菜易17082815265问： 平面向量的垂直和平行公式???? - ？
新荣区小儿回答： 假设向量a//向量ba=(x1,y1),b=(x2,y2) 则有a=λb (x1,y1)=(λx2,λy2) 即x1/x2=y1/y2=λ 变形得x1y2-x2y1=0我简单说一下,因为乘过去了,所以排除了“零”的问题--------------------------- 下面证明垂直,垂直很简单,用数量积 假设向量a⊥向量b,a=(x1,y1),b=(x2,y2) ∴向量a·向量b=0 ∴x1x2+y1y2=0

菜易17082815265问： 向量叉乘计算公式 ？
新荣区小儿回答： 向量叉乘计算公式:|向量c|=|向量a*向量b|=|a||b|sin ,即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积.而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定.叉乘一般指向量积,是一种在向量空间中向量的二元运算.与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量.并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直.其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中.a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则.一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的,若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向.

菜易17082815265问： 两个向量,互相平行,垂直的公式? - ？
新荣区小儿回答：[答案] a,b是两个向量 a=(a1,a2) b=(b1,b2) a//b:a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数 a垂直b:a1b1+a2b2=0

菜易17082815265问： 计算两个向量平行和垂直的公式分别是什么? - ？
新荣区小儿回答：[答案] 设向量a(x,y)向量b(x1,y1) 若向量a平行向量b 则xy1=yx1 (内向等于外向) 若向量a垂直向量b 则xx1+yy1=0

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