几道简单定积分计算题
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲(2023年9月修订)
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试.高等院校根据考生的成绩,按照已确定的招生计划,择优录取.因此,考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度.
二、考试内容与基本要求
(一)能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查.
思维能力表现为对问题进行分析、综合,科学推理,并能准确地表述.数学思维能力表
现为以数学知识为素材,通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断.
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,
寻找与设计合理、简洁的运算途径.运算包括对数字的计算,对式子的组合变形与分解变形,
对几何图形各几何量的计算求解等.
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题.
(二)内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力,
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校(工科专业)专科生高等数学的基本要求,为
进一步学习奠定基础.
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求.
了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关问题中进行识别和直接应用.
理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并利用所列
知识解决简单问题.
掌握(C):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有
关问题.
灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题.
具体内容与要求详见表1—表7.
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素(定义域和对应规则)
√
分段函数
√
函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性
√
反函数,复合函数
√
基本初等函数的性质和图像,初等函数
√
极
限
极限(含左、右极限)的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系,无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型:包括第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点)及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质(介值定理,零点定理和最大值、最小值定理)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数,极限,连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式,四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念,微分的四则运算,可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定,拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法,分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念,二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数(仅限一个方程确定的隐函数)
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系,向量的概念,向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算,数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系(平行、垂直)
√
牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试,试卷满分为150分,考试限定用时为120分钟.
全卷包括I卷和II卷,I卷为选择题,II卷为非选择题.试题分选择题、填空题和解答
题三种题型.选择题是四选一类型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出
计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程.三种题型(选择题、填空题和解答题)题目数分别为6、6、5,整卷共
17道题;选择题和填空题约占总分的48%左右,解答题约占总分的52%左右,试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题,总体难度适当,以中等难度题为主.
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求,特编制下列题型示例,以供参考.所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度,它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
(一)选择题
1.函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(2,1)
D.[2,1)
答案:B
2.当x0时,与x等价的无穷小量是
A.tanx
B.2sinx
C.e2x1
D.ln(1x)
答案:A
dx0
costdt
3.
A.sinx2
答案:C
(二)填空题
x29
1.极限lim
x3x22x3
3
答案:
2
B.2xsinx2
_____________.
C.cosx2
D.2xcosx2
2.函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案:3
3.函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案:
3d xdy
3xy
(三)解答题
1.求二元函数f(x,y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案:
fx3x23y0,
解:由方程组2得驻点(0,0),(1,1).
fy3y3x0
又Afxx6x,Bfxyfyx3,Cfyy6y.
对于驻点(0,0):A0,B3,C0,由B2AC90知(0,0)不是极值点.
6
对于驻点(1,1):A6,B3,C6,由B2AC270且A0知(1,1)是极小
值点,极小值f(1,1)4.
因此,函数f(x,y)有极小值点(1,1),极小值为4.
x2t1,
x3 y1 z1
2.求通过直线l1:y3t2,和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案:
解:由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2,3,2),取直线l1上一点P1(-1,2,-3),取
直线l2上一点P2(3,-1,1),
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1,0,-1),
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0,整理得xz20.
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∫ln(x+1) dx =xln(x+1) - ∫[x\/(x+1)] dx =xln(x+1) - ∫[ 1- 1\/(x+1)] dx =xln(x+1) - x + ln|x+1| + C (1)∫xsinx dx =-∫ xdcosx =-xcosx +∫ cosx dx =-xcosx + sinx + C (2)∫ arctanx dx =xarctanx - ∫ x\/(1+x^2 ) dx =xarcta...
定积分计算问题?
简单计算一下即可,答案如图所示
定积分计算?
简单计算一下即可,答案如图所示
一道定积分简单计算题,详细过程谢谢
-1)=4.5。(2)原式=sinx|[0,π\/4]+cosx[|[0,π\/4]]=√2-0+(0-1)=√2-1。具体步骤如下:lim(x→0)[∫(0,x)sint^2dt]^2\/∫(0,x)t^2sint^3dt。=lim(x→0)2[∫(0,x)sint^2dt]*sinx^2\/x^2sinx^3。=lim(x→0)2[∫(0,x)sint^2dt]\/sinx^3。
求解一道定积分计算题。
9\/2才是正确答案,这么一条简单积分也会算错么?直接秒杀吧 ∫(-1到2) (x+2-x²) dx =[x²\/2+2x-x³\/3](-1到2)=[2²\/2+2(2)-(2)³\/3]-[(-1)²\/2+2(-1)-(-1)³\/3]=10\/3-(-7\/6)=9\/2 ...
定积分的计算题,求图2的两个问题的解析,谢谢!
ln(1+tanx)dx转化而来,所以,∫(0,π\/4) ln2dx -∫(0,π\/4) ln(1+tanx)dx=∫(0,π\/4) ln(1+tanx)dx 那么:∫(0,π\/4) ln2dx =2∫(0,π\/4) ln(1+tanx)dx 则:∫(0,π\/4) ln(1+tanx)dx=1\/2*∫(0,π\/4) ln2dx =1\/2*ln2*(π\/4-0)=π\/8*ln2 ...
定积分计算题:积分区域是0-2pi,积分函数是sin^2 (t) *cos^2 (t)_百 ...
^2 -(cosx)^4}dx 一般对于在区间[0,π\/2]的上述积分,通常用公式:∫[0,π\/2](sinx)^ndx=∫[0,π\/2](cosx)^n= n为偶数:=(n-1)\/n*(n-3)\/(n-2)*...*2\/4*2\/π n为奇数:=(n-1)\/n*(n-3)\/(n-2)*...*1\/3。 这就是一步给答案的原因 ...
定积分23题如何求麻烦详细说明一下谢谢
定积分的计算,主要是先求出不定积分的表达式,然后代入上下限,即可得到定积分的值。举例子计算如下:∫[0,π](x+1)sinxdx定积分计算 定积分直接求法:∫[0,π](x+1)sinxdx =-∫[0,π](x+1)dcosx =-∫[0,π]xdcosx-∫[0,π]dcosx =-xcosx[0,π]+∫[0,π]cosxdx-cosx[0,...
定积分计算题
第一道积分题的结果为:1\/3,第二道积分结果的为:π\/6。计算过程:1、∫(0,1)√x\/2dx =1\/2∫(0,1)√xdx =(1\/2)*(2\/3)*x^(3\/2)|(0,1)=1\/2*(2\/3)=1\/3 2、π∫(0,1)x\/4dx =π(x*x\/8)|(0,1)=π\/8 ...
范县盐酸回答:[答案] 1.∫ -u/根号(1+u^2)du=-∫ u/根号(1+u^2)du=-∫udu/根号(1+u^2) (利用d(1+u^2)=2udu)=-∫d(1+u^2)/2根号(1+u^2)t=1+u^2=-∫dt/2根号t=-根号t=-根号(1+u^2)2.好像还有点问题~∫-2udu/(u-1)=-2u-2ln(u-1)-2u/(u...
机殃17782679227问: 定积分计算题 - ?
范县盐酸回答:[答案] ∫(1→e)(1+lnx)/x dx =∫(1→e)(1+lnx) d(lnx) =[lnx+1/2·(lnx)^2]|(1→e) =[lne+1/2·(lne)^2]-[ln1+1/2·(ln1)^2] =1+1/2-0 =3/2
机殃17782679227问: 问一道简单的定积分题目区间为1到根号3 分子为1 分母为x^2乘以根号下(1+x^2)最好是有过程啊TT - ?
范县盐酸回答:[答案] sqrt(2)-2/sqrt(3) 方法是用三角换元. 设x=tan(a)则积分限改为a从pi/4~pi/3 x^2=tan(a)^2 sqrt(1+x^2)=1/cos(a) dx=1/cos(a)^2 把上面的结果带入原式积分即可得到结果
机殃17782679227问: 最简单的高数定积分例题 - ?
范县盐酸回答: ∫(0,1)(上1,下0)x^2dx=x³/3|(0,1)是1 下0=1/3-0/3=1/3
机殃17782679227问: 求教各位老师几道定积分的题目1.设f(n)=(tanx)^ndx在0到PI/4上的定积分,其中,n>=1,证明:1/[2(n 1)] - ?
范县盐酸回答:[答案] 的回答模板不好输入公式,我就把答案写到了我的空间,链接为:
机殃17782679227问: 求几道简单的积分题1.∫(4X - 1)^1/2 dx2.∫sin(a - bX)dx3.∫dx/1 - 10X4.∫x^2dx/(1+x^3)^1/35.∫e^(sinx)cosxdx - ?
范县盐酸回答:[答案] 1.(1/6)*(4X - 1)^(3/2) + C 2.(1/b)*cos(a - bx) + C 3.(-1/10)*ln|1-10x| + C (P.S:| | 指的是绝对值符号) 4.using substitution 1+ x^3 = u^3 (3x^2)dx = (3u^3)du ∫(u)du = (1/2)*(u^2)+ C = (1/2)[(1+ x^3)^(2/3)] + C 5.(e^sinx) + C Hint:put sinx = t
机殃17782679227问: 定积分的几道题 - ?
范县盐酸回答: 1、将积分分为两部分,前一部分x^3为奇数,根号下为偶函数,因此积分为0,积分剩下4∫ √(9-x^2)dx 这是填空题,教你个简单方法,用定积分的几何意义,y=√(9-x^2)为上半圆,本题就是求上半圆的面积,结果为4*π*3^2/2=18π2、周期函数在...
机殃17782679227问: 简单数学题,定积分, - ?
范县盐酸回答: 令x=π/4-t,则dx=-dt x=0时,t=π/4 x=π/4时,t=0 ∴P=∫[0~π/4]ln(1+tanx)dx=∫[π/4~0]ln[1+tan(π/4-t)]·(-dt)=∫[0~π/4]ln[1+tan(π/4-t)]dt=∫[0~π/4] {ln2-ln(1+tant)}dt=∫[0~π/4]ln2dt-∫[0~π/4]ln(1+tant)dt=π/4·ln2-P ∴2P=π/4·ln2 ∴P=π/8·ln2
机殃17782679227问: 2道相当简单的定积分求d/dx∫(b,a)(3^x+5cosx)dx和求d/dx∫(x,a)(3^x+5cosx)dx有什么区别答案是多少啊谢谢b,x是上标,a 是下标 - ?
范县盐酸回答:[答案] 答案:0 3^x+5cosx 1.注意,定积分是一个常数.常数的导数是零. 2.右边的是变积分上限的导数,就是把积分上限代入,即可.
机殃17782679227问: 高数简单求定积分题 - ?
范县盐酸回答: arcsin(1/√2)=45°,arcsin(-0.5)=-30°