抛物线焦点弦长公式是什么？

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几何领域的抛物线焦点弦弦长公式

定义：如果一条倾斜角为α的直线过抛物线焦点F，并交抛物线于A。B两点，则AB的长度为2P/（sinα）2（即2P除以sinα的平方）

推导过程：

设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)

即直线为y=tanαx-ptanα/2

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

那么(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。在抛物线y²=-2px中，d=p-(x1+x2)。在抛物线x²=2py中，弦长公式为d=p+y1+y2。在抛物线x²=-2py中，弦长公式为d=p-(y1+y2)。

在y²=2px中，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2，图形关于x轴对称，焦点为（p/2,0）。

抛物线焦点弦的结论：

1、过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点

A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=x1+x2+p

证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D，由于L的方程是x＝－p/2，所以｜AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2，根据抛物线的定义有：｜AF|=|AC|，|BF|=|BD|，

所以：｜AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p

2、过抛物线x^2=2py的焦点F的弦AB与它交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=y1+y2+p

3、过抛物线y^2=-2px的焦点F的弦AB与它交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=-x1-x2+p

4、过抛物线x^2=-2py的焦点F的弦AB与它交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB|=-y1-y2+p

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a（x1,y1),b(x2,y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离＝x1+p/2,

bf=x2+p/2

所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

抛物线有关切线、法线的几何性质

1、设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

2、过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

3、设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

4、设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。

√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2。弦长公式指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

推导过程：

设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)

即直线为y=tanαx-ptanα/2

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

那么(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a（x1,y1),b(x2,y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离＝x1+p/2,

bf=x2+p/2

所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

抛物线四种方程的异同

一、共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

二、不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

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钟楼区17657077989： 抛物线过焦点的弦长公式证明过程 - ？
昔学肤疡：[答案] 焦点弦公式2p/sina^2 证明:设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2) 联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0 所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2 由抛物线定义,AF=A...

钟楼区17657077989： 过抛物线焦点弦长公式 - ？
昔学肤疡：[答案] 就是定义转化. 抛物线是:y^2=2px 则为p+x1+x2 抛物线是:x^2=2py 则为p+y1+y2 抛物线是:y^2=-2px 则为p-x1-x2 抛物线是:x^2=-2py 则为p-y1-y2

钟楼区17657077989： 求;数学圆锥曲线中抛物线焦点弦长公式急!我想要的是焦点在X正负半轴,和Y正负半轴上的公式,很多书上只有y2=2px的公式. - ？
昔学肤疡：[答案] 过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有① x1*x2 = p^2/4 ,y1*y2 = —P^2② 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P④若OA垂直OB则A...

钟楼区17657077989： 过抛物线焦点的直线被抛物线截得的弦长公式要高中数学的 - ？
昔学肤疡：[答案] 焦点弦长公式需要直线过焦点抛物线焦点弦长=x1+x2+p 圆锥曲线弦长公式:设弦所在直线的斜率为k,则弦长=根号[(1+k^2)*(x1-x2)^2]=根号[(1+k^2)*((x1+x2)^2-4*x1*x2)]以下公式,仅供参考:过抛物线y^2=2px(p>0)焦点...

钟楼区17657077989： 焦点弦长公式2P/(sinθ)^2中的θ是什么?? - ？
昔学肤疡： 这是抛物线的焦点弦长公式 θ是弦与抛物线对称轴的夹角!

钟楼区17657077989： 紧急紧急紧急抛物线过焦点弦长公式 - ？
昔学肤疡： 当然可以.y=x-1 y^2=x^2-2x+1=4x x^2-6x+1=0 x1+x2=6,x1x2=1 d^2=(1+k^2)(x1-x2)^2=2*[(x1+x2)^2-4x1x2]=2*(36-4)=64 d=8 x1+x2+p=6+2=8 一样的结论.我可以帮助你,你先设置我最佳答案后,我百度Hii教你.

钟楼区17657077989： 什么焦点弦公式? - ？
昔学肤疡：[答案] 椭圆焦点弦公式 2ab^2/(b^2+c^2sin^2a) 双曲线焦点弦公式 2ab^2/lb^2-c^2sin^2al 抛物线焦点弦公式 p/2+x 抛物线焦点弦的其他结论 ①弦长公式[1] ②若直线AB的倾斜角为α,则|AB|=2p/sin平方α ③y2=2px或y2=-2px时,x1x2=p2/4,y1y2=-p2 x2...

钟楼区17657077989： 焦点弦长 =X1+X2+P 的推导过程 - ？
昔学肤疡：[答案] 抛物线定义:与焦点距离等于与准线的距离 抛物线过焦点的弦, 焦点弦长拆分成两断,焦点弦=两点到焦点的距离之和. 两点到准线的距离分别为x1+P/2,x2+P/2 所以焦点弦=x1+p/2+x2+p/2=x1+x2+p 回答者:abei_945 - 进士出身 八级

钟楼区17657077989： 求;数学圆锥曲线中抛物线焦点弦长公式急! - ？
昔学肤疡： 过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P ④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0) ⑤焦半径:|FP|=x...