高数 微分方程 通解 特解

微分方程的特解怎么求~

二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根
令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）
第二步：通解
1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1，C2是任意常数。
拓展资料：
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。
高数常用微分表

唯一性
存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

答案是a。
根据线性方程的叠加原理，原非齐次线性方程的特解是y''+y=x^2+1的特解与y''+y=sinx的特解之和。
因为0不是特征方程的根，所以y''+y=x^2+1的特解设为ax^2+bx+c。
因为±i是特征方程的单根，所以y''+y=sinx的特解设为x(acosx+bsinx)。
所以，原非齐次线性方程的特解设为ax^2+bx+c+x(acosx+bsinx)。

若求得：y" - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的两个线性无关的特解：u(x)，v(x)，则 非齐次方程：
y" - p(x)*y' - q(x)*y = t(x)
的通解公式为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * t(s) ds.
这里的微分方程为：f '' (x) - f(x) = cos x，齐次部分：y '' - y = 0.
特征方程为：x^2 - 1 = 0. x = 1 和 x = -1.
所以，基础解系 u(x) = e^x，v(x) = e^(-x). t(x) = cosx，代入通解公式计算，就能够得到方程的通解为：f(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-x) - 1/2 * cosx.
【注：
∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * t(s) ds.
通解公式中，这个部分计算出来的就是 -1/2 * cos x ，就是特解.
】
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因表达式为cosx
设待定特解为y=Acosx+Bsinx(这是固定用法,A,B为待定系数)
代入微分方程y''-y=cosx得：-Acosx-Bsinx-Acosx+Bsinx=cosx
即，-2Acosx-2Bsinx=cosx
比较系数得到-2A=1，-2B=0
特解为y=-(1/2)cosx

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永兴县13781098728： 什么是微分方程的通解和特解? - ？
称匡盐酸： 通解中含有任意常数,而特解是指含有特定常数.比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解,但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解,其中C为任意常数. 求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等.而对于非齐次方程而...

永兴县13781098728： 微分方程通解特解 - ？
称匡盐酸： 1.求y'+y/x=sinx/x的通解解:∵y'+y/x=sinx/x==>xdy+ydx=sinxdx==>d(xy)+d(cosx)=0==>xy+cosx=C (C是常数)∴原方程的通解是xy+cosx=C. 2.求x^2+xy'=y,y(1)=0的特解解:∵x^2+xy'=y==>x^2dx+xdy-ydx=0==>dx+(xdy-ydx)/x^2=0==>dx+d(y/x)=0==>x+y/x=C==>y=Cx-x^2∴原方程的通解是y=Cx-x^2∵把y(1)=0代入通解,得C=1∴原方程满足所给初始条件的特解是y=x-x^2.

永兴县13781098728： 高等数学中通解和特解分别是什么? - ？
称匡盐酸：[答案] 通解是解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解是解中不含有任意常数.一般是给出一组初始条件,先求出通解,再求出满足该初始条件的特解.

永兴县13781098728： 关于高数中,什么是不定解?,什么是特解?,什么是通解?,什么是特解?,什么是所有解? - ？
称匡盐酸：[答案] 通解就是所有解!为了确定微分方程一个特定的解,我们通常给出这个解所必需的条件,这就是所谓的定解条件.当定解条件刚好是初值条件,得到的定解就是特解!(初值条件是指如下的n个条件:当x=x0时,y=y0,而y的n-1阶导数等于y0的n-1导数...

永兴县13781098728： 高等数学求微分方程的通解 - ？
称匡盐酸： |y'+x=√(x^2+y) 设y=x^2u dy=2xudx+x^2du2xudx+x^2du+xdx=x√(1+u)dx2udx+xdu+dx=√(1+u)dx xdu=[√(1+u)-2u-1]dx du/[√(1+u)-2u-1] =dx/x ln|x|=∫du/[√(1+u)-2u-1]=∫2√(u+1)d√(u+1)/[√(1+u)-2√(1+u)^2+1]=∫-2√(u+1)d√(u+1)[/(2√(1+u)+1)(√(1...

永兴县13781098728： 高数中,什么是特解, - ？
称匡盐酸：[答案] 通解是解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解是解中不含有任意常数.一般是给出一组初始条件,先求出通解,再求出满足该初始条件的特解.

永兴县13781098728： 求微分方程的通解特解1.y'=2x的通解2.微分方程y'=e^x - y满足y/x=1 =1+ln2的特解是Ay=ln(e^x+1) b y=ln(e^x+2) c y=ln(e^x+e);d y=x+ln2 - ？
称匡盐酸：[答案] 1,通解为x^2+c,(c为任意常数) 2,首先要使解满足微分方程,求出通解,然后再令y(1)=1+ln2,求出c来,就可以了.答案选c

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称匡盐酸： 1,通解为x^2+c,(c为任意常数) 2,首先要使解满足微分方程,求出通解,然后再令y(1)=1+ln2,求出c来,就可以了.答案选c

永兴县13781098728： 高等数学(理专)考题,求微分方程的通解 - ？
称匡盐酸： 非线性微分方程通解=线性微分方程的通解+非线性微分方程的特解 线性方程:y''=0,可得特征方程r^(2)=0,即线性方程通解y1=Ax+B,其中A、B为任意常数. 非线性方程:y''=e^(x)+cosx,我们发现这个方程不是那种特殊的形式,故而分解成两个方程 即y''=2e^(x)和y''=2cosx,由对应形式可分别得对应特解y2=2e^(x)和y3= -2cosx.由非线性特解的性质可知,y''+y''=2e^(x)+2cosx的特解即y4=y2+y3=2e^(x) -2cosx. 综上可得所求方程的通解为y=y1+y4=Ax+B+2e^(x) -2cosx,其中A、B为任意常数.

永兴县13781098728： 特解和通解的关系公式 ？
称匡盐酸： 微分方程中特解和通解的关系公式:通解包含特解,微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式,解微分方程就是找出未知函数,微分方程是伴随着微积分学一起发展起...