求该极限的解题步骤 高数

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【求解答案】

【求解思路】使用极限《ε-δ》的定义来求解。

1、令

2、由于sinx在x=0处的导数是1，可以预测极限A等于1。

3、用《ε-δ》语言来证明：

4、如成立，得到的A值，就是该函数的极限值。

【求解过程】

【本题知识点】

1、极限。

1) 函数极限

2) 数列极限

2、《ε-δ》语言。如果每一个预先给定的任意小的正数ε，总存在着一个正整数δ，使得对于适合不等式 0<|x-x0|≤δ的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式

则常数A就叫做函数y=f(x)当x→x0时的极限。记作

3、《ε-N》语言。如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε，总存在着一个正整数N，使得对于n>N时的一切xn不等式 |xn-a|≤ε能成立，则常数a就叫做数列当n→∞时的极限。记作

这个题可以用“洛必达法则”，因为分子分母在x=0时，结果都为0，满足法则使用条件，因此：
直接将分子分母同时求导数，就变成了 lim cos（x）|x=0，也就是求cos（x）在x=0的极限，直接把x=0带入，也就是cos（0）=1，最后结果等于1

要求解一个极限问题，一般可以按照以下步骤进行：
1. **代入法**：尝试直接代入该极限的值，看看是否可以得到一个有限的结果。如果可以直接代入得到结果，那么极限就是代入值。
2. **化简**：如果代入法不适用或者代入后无法得到有限的结果，可以尝试对极限式进行化简。可以使用因式分解、公式化简或其他方法对式子进行简化，以便更容易求解极限。
3. **借助性质**：在化简过程中，可以使用极限运算的性质，如极限之和的性质、极限之积的性质等。这些性质可以帮助简化计算过程。
4. **夹逼准则**：如果无法直接代入或化简，可以尝试使用夹逼准则。即通过两个函数对极限式进行夹逼，确定极限的范围和趋势。
5. **洛必达法则**：在一些特殊情况下，可以使用洛必达法则来求解极限。即对不定形式的函数求导，然后再次尝试求解极限。
6. **泰勒级数**：在一些复杂的情况下，可以尝试使用泰勒级数展开来求解极限。将函数展开成泰勒级数，然后再尝试求解极限。
通过以上方法，可以帮助你解决高数中的极限问题。如果你有具体的极限题目需要帮助，可以提供题目内容，我会尽力协助你求解。

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