矩阵的秩与矩阵可逆的关系是什么？
满秩矩阵一定是可逆矩阵，可逆矩阵一定是满秩矩阵。
满秩矩阵是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。若矩阵是满秩矩阵，则为n阶方阵，|A|≠0，即|A|是A的n阶非零子式，符合可逆矩阵只要求|A|<>0的条件，即为可逆矩阵。同时，可逆矩阵的行列式就是最高的不为零的子式(是n阶的)，所以可逆矩阵也必然是满秩矩阵。
扩展资料：
用满秩方阵乘矩阵，并不会改变矩阵的秩，因为满秩方阵可逆，可逆矩阵一定是方阵，可逆矩阵可以等同于一组初等矩阵的乘积。满秩方阵乘矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩。同样的道理，两个满秩方阵的乘积也仍然是满秩方阵，不会改变矩阵的秩
满秩矩阵和可逆矩阵是等价的，但“行满秩矩阵”和“列满秩矩阵”却不一定可逆。因为满秩矩阵一定是行满秩矩阵和列满秩矩阵，但行满秩矩阵或者列满秩矩阵不一定是满秩矩阵。
参考资料来源：
百度百科——满秩矩阵
百度百科——可逆矩阵
线性代数,为什么矩阵满秩,他就一定可逆?
这是因为，方阵满秩时，可以使用初等行变换，化成单位矩阵（相当于使用一系列初等矩阵左乘矩阵，得到单位矩阵），从而可逆。矩阵非零子式的最高阶数叫做矩阵的秩。满秩说明整个矩阵的行列式不为零，所以可逆。n阶可逆矩阵，行列式不为0，各列向量线性无关，各列向量的秩是n， 即矩阵的秩是n， 矩阵满...
不知道矩阵可不可逆跟秩的关系
一个n阶矩阵A可逆的充分必要条件是r(A)=n。本题，A不可逆，则r(A)<4，|A|=0，则可求出x=1或x=-3，从而r(A)=1或3。
为什么矩阵可逆,它的秩不变呢?
r(ab)和r(a)，r(b)的关系如下：r(A,B)>=r(A+B)。r(A,B)>=r(B)>=r(AB)。r(AB)与r(A+B)没有直接关系。矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。矩阵的应用：1925...
矩阵可逆,秩会不会改变?
做初等变换相当于改原矩阵乘以一个可逆矩阵，而乘可逆矩阵是不会改变其秩的。矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系。即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。两个矩阵相等是指：1、两个对应矩阵要求同型（行数与列数...
什么样的矩阵是可逆的?
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。证明：1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=...
如何快速判断一个矩阵是否可逆?
一个矩阵是否可逆，可以通过以下几种方法进行快速判断：1.行列式法：对于一个n阶方阵A，如果它的行列式det(A)不等于0，那么矩阵A就是可逆的。因为行列式值不为零是矩阵可逆的必要条件。2.秩法：对于一个n阶方阵A，如果它的秩r(A)等于n，那么矩阵A就是可逆的。因为矩阵的秩等于其列向量组的最大...
不知道矩阵可不可逆跟秩的关系
A不可逆，则|A|=0 即(x+3)(x-1)^3=0 解得x=1或-3 则秩分别是1或3 选A
为什么矩阵A可逆,则矩阵AB的秩等于矩阵B的秩,同样,矩阵B可逆,则矩阵A...
A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积 所以AB就是B左乘一些初等阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以秩不变。即r(AB)=r(B)B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积 所以AB就是A右乘一些初等阵，而右乘初等阵就是对A进行初等列变换，所以秩不变。即r(AB)=r(A)...
矩阵可逆的必要条件是不是矩阵满秩?
满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的 充分必要条件 其中非奇异矩阵是满秩矩阵 单位阵：单位阵是单位矩阵的简称，它指的是对角线上都是1，其余元素皆为0的矩阵。在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，我们称这种矩阵为单位矩阵，简称单位阵。它是个...
两个n阶可逆矩阵的秩一定相等吗?求证明~
一定相等的。矩阵可逆→矩阵的行列式不等于零→矩阵的秩等于n→两个矩阵的秩都等于n→秩相等。
章念源首： An可逆,r(A)=n 或 |A|≠0. 阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩.通常表示为r(A),rk(A)或rank A. m * n矩阵的秩最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n).有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵...
禹王台区17519831320： 为什么矩阵A可逆,则矩阵AB的秩等于矩阵B的秩,同样,矩阵B可逆,则矩阵AB的秩等于矩阵A的秩??? - ？
章念源首： A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积 所以AB就是B左乘一些初等阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以秩不变.即r(AB)=r(B)B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积 所以AB就是A右乘一些初等阵,而右乘初等阵就是对A进行初等列变换,所以秩不变.即r(AB)=r(A)
禹王台区17519831320： 矩阵ac=b,c可逆,为什么a的秩等于b的秩 - ？
章念源首： c可逆,则c可看成初等矩阵的乘积,看成a经过多次初等变换成b,经初等变换秩不变,所以a与b秩相同
禹王台区17519831320： 关于线代上秩的关系,急求大侠各解A可逆,AB=C,A,B,C及AB,AC秩有什么关系?若B可逆呢? - ？
章念源首：[答案] A可逆,AB=C相当于对矩阵B进行一系列的行变换最终得到矩阵C,说明B等价于C,所以R(B)=R(C),同理,B可逆,相当于对矩阵A进行一系列的列变换得到C,说明A等价于C,所以R(A)=R(C)
禹王台区17519831320： 满秩矩阵一定是可逆矩阵吗?可逆矩阵一定是满秩矩阵吗? - ？
章念源首： 满秩矩阵一定是可逆矩阵,可逆矩阵一定是满秩矩阵. 满秩矩阵是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件.若矩阵是满秩矩阵,则为n阶方阵,|A|≠0,即|A|是A的n阶非零子式,符合可逆矩阵只要求|A|<>0的条件,即为可逆矩阵.同时,可逆矩阵...
禹王台区17519831320： n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵的秩是什么关系? - ？
章念源首： n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵的秩的关系: 因为原矩阵的任意一个n-1阶子阵都是0,而初等变换不改变矩阵的秩以及其伴随的秩假设是n阶矩阵,矩阵的秩为n时,伴随矩阵秩也是n,因为矩阵可逆,所以行列式非零矩阵的秩是n-1时,化成标准型...
禹王台区17519831320： 一个矩阵可逆一定满秩吗?满秩一定可逆吗? - ？
章念源首： 对于方阵来说,可逆一定满秩,满秩也一定可逆.但对于非方阵来说,一定不可逆,但也可以满秩(有些教材是直接说满秩,而有些教材区分行满秩与列满秩)
禹王台区17519831320： 为什么可逆矩阵不影响矩阵的秩?(求助) - ？
章念源首： 首先,楼上的式子错了,应该是R(AB)=R(B);其次,R(AB)不大于R(B),这是因为AB的行向量是由B的行向量的线性组合得到的;再次,有R(B)=R(A^-1AB)不大于R(AB),道理同上.最后,则有R(AB)=R(B).
