设数列{Xn}满足Xn＞0Xn＋4/(X（n＋1）)²＜3，证收敛，并求极限

设数列{Xn}满足Xn＞0Xn＋4/(X（n＋1）)²＜3，证收敛，并求极限~

楼上的做法还有点问题，如果a1>2呢？又是单增的，极限怎么可能等于2！而实际上这是不可能的。为了便于说明，先算几项来看规律。首先，对任意项都有a(n)<3，代入上述不等式得a(n-1)<23/9，也就是说任意项也小于23/9，再进行迭代得任意项也小于1263/529.。。。就这样在一步步的缩小上限，一直这样迭代下去会出现一种极限情况，即a(n)≤k时，解得a(n+1)≤k，这个k就是能得出的最小上限。k值如何来求呢？它满足方程k+4/k^2=3，解得k=2，其它解舍去。所以0<a(n)≤2。
如果a1>2，就会出现到某项时，再也找不到满足该不等式的a(n+1)了，迭代将中断。所以0<a(n)≤2，在这个前提下再通过楼上的做法，就能得到极限为2.

因为x0＞0，且xn+1＝xn2+1xn，所以：xn＞0，①若x0＝2，由xn+1＝xn2+1xn可知，后边的所有项均为2，则此时数列{xn}收敛，且极限为2．②若x0≠2，由xn+1＝xn2+1xn可知，显然有：xn+1＞2，又因为xn+1xn＝12+1<td style="padding-top:1px;font-siz

{Xn} 收敛于2.

反证： 若不然，则存在 1>a>0, 及子序列 n1,n2,..... 使得 |X_ni -2| > a.
因为：
设 f(x)=x+4/x^2, x>0.
f'(x)=1-8/x^3.
当 0<x<2时，f'(x)<0; 递减
f'(2)=0,
当 x>2时，f'(x)>0; 递增
所以f(2)=3是最小值

设b=min{f(2-a),f(2+a)}>3, 则对任意 x_ni, f(X_ni)>b>3.
于是：
X1＋4/(X2)²＜3

X2＋4/(X3)²＜3

。。。。
Xn＋4/(X（n＋1）)²＜3

相加得：
x1 + f(x2)+f(x3)+....+f(xn)+ 4/x(n+1)^2 < 3n
左边每项都>=0, 并且每个f(xi)项都>=3, 每个 子序列 {ni}中的项 f(x_ni)>b. 假设1，。。。，n中含m个子序列的项。则有：
（n-1)*3+m(b-3)<3n
m(b-3)<3
但当 n-->无穷大时， m-->无穷大。 这与 m<3/(b-3) 矛盾。

所以结论成立。

直接做法： 条件化为 [X(n+1)]^2(3-Xn)>4显然 0<Xn<3 下证 Xn<X(n+1) 若不成立
则 4<[X(n+1)]^2(3-Xn)<=[Xn]^2(3-Xn)=1/2 Xn*Xn*(6-2Xn)<=1/2(6/3)^3=4 矛盾！
所以Xn<X(n+1) 对所有n成立 因此 Xn 单调递增有上界 极限存在，设为a 且两边取极限得
a^2(3-a)>=4 而 a^2(3-a)<=4 因此 a等于2

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海北藏族自治州19887659434： 设数列xn满足xn>0且limxn+1/xn=1/2,求limxn的极限? - ？
右华盐酸： xn=0.5x1*0.5^n,取极限,显然是0.

海北藏族自治州19887659434： xn>0 xn+4/x(n+1)^2<3 证limxn=2 n趋于正无穷 - ？
右华盐酸： 若limxn存在,不妨设为x,显然x>0,且有x+4/x^2<=3,不等式变形为(x-2)^2*(x+1)<=0,而(x+1)>0,所以有(x-2)^2<=0,所以有x-2=0,即x=2.所以limxn=2(n趋于无穷时). 下面证limxn存在:显然有xn>0且xn<3.若存在N使得xN>=2...

海北藏族自治州19887659434： 设数列{Xn}满足Xn>0Xn+4/(X(n+1))²<3,证收敛,并求极限 - ？
右华盐酸： {Xn} 收敛于2.反证: 若不然,则存在 1>a>0, 及子序列 n1,n2,..... 使得 |X_ni -2| > a. 因为: 设 f(x)=x+4/x^2, x>0. f'(x)=1-8/x^3. 当 0<x<2时,f'(x)<0; 递减 f'(2)=0, 当 x>2时,f'(x)>0; 递增 所以f(2)=3是最小值设b=min{f(2-a),f(2+a)}>3, 则对任...

海北藏族自治州19887659434： xn>0,xn+4/(xn+1)^2<3.求证xn存在极限并求极限.那个括号里面的是第n+1项xn - ？
右华盐酸： x(n)的条件是sqrt((x(n)+4)/x(n+1)4/3)3)4/3 所以,当x(1)>x(n+1) x(n+1)

海北藏族自治州19887659434： 设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2012的值为() - ？
右华盐酸： 由题意,∵x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),∴x1=f(x0)=2,x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=4,x4=f(x3)=5,故数列{xn}满足:5,2,1,4,5,2,1,…是一个周期性变化的数列,周期为:4. ∴x2012=x4*503=x0=5. 故选D.

海北藏族自治州19887659434： 设数列{Xn}满足Xn>0Xn+4/(X(n+1))²<3,证收敛,并求极限？
右华盐酸： {Xn} 收敛于2. 反证: 若不然,则存在 1&gt;a&gt;0, 及子序列 n1,n2,..... 使得 |X_ni -2| &gt; a. 因为: 设 f(x)=x+4/x^2, x&gt;0. f'(x)=1-8/x^3. 当 0&lt;x&lt;2时,f'(x)&lt;0; 递减 f'(2)=0, 当 x&gt;2时,f'(x)&gt;0; 递增 所以f(2)=3是最小值 设b=min{f(2-a),f(2+a)}&gt;3, 则对任意 x_ni, f(X_ni)&gt;b&gt;3. 于是: X1+4/(X2)²

海北藏族自治州19887659434： 设数列{Xn}满足:0<X1<1;X(n+1)=Xn - 2Xn*Xn;求当n趋近于正无穷时候,Xn的极限? 哪位数学大神帮忙做下~ - ？
右华盐酸： 用数学归纳法可以证明 0<X(n+1)=Xn<1/2 所以当n趋近于正无穷时候,Xn的极限存在,设为k X(n+1)=Xn-2Xn*Xn 两边取极限 解得k=0 即当n趋近于正无穷时候,Xn的极限为0

海北藏族自治州19887659434： 设数列{ Xn}满足0<X1<π(3.14) ,Xn+1=SinXn,n=1,2…… 则(1)证明limXn(n - >无穷大)求之 - ？
右华盐酸： 当 n>=2时,0<Xn+1=sinXn<1, 所以 有 Xn+1=sinXn<Xn, 因此 { Xn}是单调递减的有界数列,故存在极限, 设 lim(n→∞)Xn=x,则x=sinx, 解得 x=0,即 lim(n→∞)Xn=0.

海北藏族自治州19887659434： 利用单调有界必有极限的准则证数列的极限存在并求极限设x1>0且xn+1=1/2(xn - ？
右华盐酸：[答案] 题目是不是搞错了,应该是x1>0且xn+1=1/2(xn+1/xn) 如果是,那么由均值不等式知,xn>=1,有下限1,又由于xn+1/xn=1/2(1+1/xn^2)=1,所以,1/xn^2则A=1/2(A+1/A),又A>0,所以求得极限为1

海北藏族自治州19887659434： 数列{xn}满足x1=0,xn+1= - x2n+xn+c(n∈N*). (Ⅰ)证明:{xn}是从递减 - ？
右华盐酸： 当c∴{xn}是单调递减数列 充分条件 当{xn}是单调递减数列时 x1=0>x2=-x21+x1+c ∴c综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c(e69da5e887aa7a686964616f31333335333138Ⅱ)由(I)得,c≥0 ①当c=0时,xn=x1=0,此时数列为常数列,不符合...