一个矩阵的秩的证明题
这是秩一矩阵的性质，用的原理是
A^n=tr(A)^(n-1)*A
下面是该结论的证明
已知A=αβ^T,A^n=tr(A)^（n-1）*A
证明，α=(a1,a2,...,an)^T
β=(b1,b2,...,bn)^T
(β^T)*α=(a1b1+a2b2+...+anbn)
A=α*(β^T)=(a1b1 a1b2...a1bn
a2b1 a2b2...a2bn
... ... ...
anb1 anb2...anbn)
A=α*β^T,
A^2=(α*β^T)*(α*β^T)
=α*(β^T*α)*β^T
α*(tr(A))*β^T=tr(A)*(α*β^T)=tr(A)*A
下面用数学归纳法，就可以得出A^n=tr(A)^(n-1)*A
这不是个结论吗···我都是记住了直接用的···还真没考虑怎么证明
不过你看一眼也能明白吧，两个秩为1的矩阵组合，最多变成秩为2的分块矩阵
我不是很明白为什么要证明，考试也不会考证明这么基础的东西，会用就行···········
最后一个不等号是因为B的列数是r，所以秩不超过列数。
于是得到 r≤R(B)≤r,即R(B)=r
同理R(C)=r
【现代求助】关于矩阵的秩的证明题,O(∩_∩)O谢谢
那么AB为r×n矩阵 由秩的不等式可以知道，r(A)+r(B) -r ≤r(AB)现在AB=0，即r(AB)=0，而r(B)=r 所以 r(A)+r -r ≤0 即r(A)≤0 故A=0 2、AB=B 即(A-E)B=0 于是由第1问的结论就可以知道 A-E=0 所以A=E
矩阵的秩的证明题
证明：AB为m×m矩阵，且其可逆, => r(AB)=m。由r(A)、r(B)<=m、n，又r(A)、r(B)>=r(AB)=m。所以， 秩A=秩B=m
求解一题 矩阵的秩相关
1. r(AB)证明见:2. AB 是m阶方阵, 秩小于m, 故 |AB| = 0.
求范德蒙德矩阵的秩
x1,x2,x3,……xn+1中有r个不同值，那么矩阵的秩为r.下证之。证明：当x1,x2,x3,……xn+1全部不相等时，范德蒙德行列式不为0，那么矩阵的秩=n+1 当x1,x2,……xr不相等时，任意r+1级子式=0（因为最后化成乘积形式，存在两数 xi,xj之差为0.而存在r级子式不为0（就是把题目里的n改...
一个矩阵的秩的证明题目,请帮帮忙!
这是一个经典的线性代数的结论，很多线性代数的教科书里都会有的。不过要注意这件事情只对实数域上的矩阵才成立（复数域上要把题中的转置替换为厄米共轭）。我们利用矩阵的秩与相应方程组解空间的维数的关系来证明，并且我们证明更广泛的情形：不需要A行满秩的条件，证明rank(A)=rank(A'A)。我们知道...
线性代数矩阵秩的证明问题
-A=0 A(A-E)=0 因为A≠0，A≠E，所以A和A－E的秩都不可能为0（至少为1）当R(A)＝1时，显然式子成立 当R（A）=2时，A-E的列向量是Ax=0的解，而解空间是1维的，所以r(A-E)最大也为1。当R(A)=3时，A-E的列向量是Ax=0的解，只有零解，即A-E＝0，不满足条件。得证 ...
一道线性代数证明题(矩阵的秩相关)
AB=0,则B'A'=0,所以B'为(s)x(r)矩阵，又B的秩为r，所以r<=s 所以B'等价于如下矩阵 T= C D C为(r)x(r)的矩阵，它的秩为r，D为(s-r)x(r)的0矩阵。考虑线性方程Cx=0的解的情况，因为C是满秩，所以Cx=0只有0解，又因为B'A'=0，所以可以把A'的列向量看成是Cx=0的解，...
关于矩阵极其秩的证明题
1.rank(a+b)<=rank(a)+rank(b)：[A,0;0,B]→[A,B;0,B]→[A+B,B;B,B]→[A+B,B;-A,0]rank(A+B)=rank[A,0;0,B]=rank[A+B,B;-A,0]>=rank(a+b).结论得证。
问一道线性代数的证明题
首先如果一个矩阵A的秩r(A)=r，那么这个矩阵中任意r+1阶子式都等于0，这是一个定理，书上有证明，大致解释一下就是，如果矩阵的秩是r，那么对应的向量组就最多有r个线性无关的向量，所以r+1个向量一定线性相关，因此在r+1阶子式中的向量组一定线性相关，行列式等于0。这样我们得到aklaij=aila...
线性代数,一道关于矩阵的秩的证明题!
如果这两个方程组同解，则两个方程组的系数矩阵有相同的秩，R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数。这个很好理解对吧，《线性代数》的基本内容。现在来证明它们同解：首先，如果x1是（1）的解，那么它肯定也是（2）的解，因为将其代入（2）：(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0 其次证明（2）...
全疮小活：[答案] 证明:AB为m*m矩阵,且其可逆,=> r(AB)=m. 由r(A)、r(B)=r(AB)=m. 所以,秩A=秩B=m
鸡冠区13236875117： 求解一道高等代数关于矩阵的秩的证明题设A是一个n阶可逆方阵,向量α、β是两个n元向量.试证明:r(A+αβ′)≥n - 1. - ？
全疮小活：[答案] 这个结论知道不:r(A±B)≤r(A)+r(B).利用它,得r(A)=r(A+B-B)≤r(A+B)+r(B),即r(A+B)≥r(A)-r(B),设αβ′=B,r(B)=1,r(A)=n,命题就得证了.
鸡冠区13236875117： 线性代数秩的证明题设A是n*n矩阵r(A)=n时,r(A*)=nr(A)=n - 1时,r(A*)=1r(A) - ？
全疮小活：[答案] AA*=|A|E 1.如果 r(A)=n,则|A|≠0 |A*|≠0 所以 A*可逆.r(A*)=n 2.r(A)=n-1时 |A|=0,所以AA*=O r(A)+r(A*)
鸡冠区13236875117： 矩阵秩的证明题设A,B是n阶矩阵,且ABA=B的逆矩阵.证明秩(E+AB)+秩(E - AB)=nABA=B^( - 1),所以(E+AB)(E - AB)=0 这一步是怎么来的呀?其他... - ？
全疮小活：[答案] ABA=B^(-1),所以ABAB=E,所以(E+AB)(E-AB)=E-ABAB=0,就这样.
鸡冠区13236875117： 矩阵的秩的证明题 - ？
全疮小活： 证明:AB为m*m矩阵,且其可逆, => r(AB)=m.由r(A)、r(B)<=m、n,又r(A)、r(B)>=r(AB)=m.所以, 秩A=秩B=m
鸡冠区13236875117： 线性代数,证明矩阵的秩一种定义:矩阵A的不为零的子式的最高阶数,叫做矩阵A的秩 - ？
全疮小活：[答案] 课本上有定理证明. 其实只要理解了规律,这个定理会很容易记住的. 对秩的理解也会加深,对线代整个体系的掌握也会提升.
鸡冠区13236875117： 一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义(非零子式最高阶数)和分块矩阵证明. - ？
全疮小活：[答案] 有不懂的再问我吧 PS:开始证的时候还没注意,后来发现我用了C是实矩阵的条件,但是楼主没给.考虑了一下,觉得这个条件是必要的,因为若C为复矩阵,可以举出反例如下: C=1 0 i 0 楼主应该可以看出毛病了~
鸡冠区13236875117： 线性代数证明题(矩阵的秩)A是n阶实方阵,求证:r(A*A^T)=r(A^T*A)=r(A) - ？
全疮小活：[答案] 一方面, r(A^T*A)=r(A); 由这两方面可得r(A^T*A)=r(A). 同理可得r(A*A^T)=r(A^T)=r(A).
鸡冠区13236875117： 线性代数证明题(矩阵的秩) - ？
全疮小活： 一方面, r(A^T*A)<=r(A); 另一方面,若(A^T*A)*X=0,则X^T*A^T*A*X=0,则(A*X)^T*A*X=0,则A*X=0,即(A^T*A)*X=0的解也是A*X=0的解,故r(A^T*A)>=r(A); 由这两方面可得r(A^T*A)=r(A). 同理可得r(A*A^T)=r(A^T)=r(A).
鸡冠区13236875117： 一道矩阵秩的证明题 - ？
全疮小活： 这是秩一矩阵的性质,用的原理是 A^n=tr(A)^(n-1)*A 下面是该结论的证明 已知A=αβ^T,A^n=tr(A)^(n-1)*A 证明,α=(a1,a2,...,an)^T β=(b1,b2,...,bn)^T(β^T)*α=(a1b1+a2b2+...+anbn) A=α*(β^T)=(a1b1 a1b2...a1bn a2b1 a2b2...a2bn ... ... ... anb1 anb2....
