偏导数的几何应用 求思路 题目：求曲面x的平方+2y的平方+3z的平方=21上平行于平面x+4y+

求曲面X^2+2Y^2+3Z^2=11的切平面方程，使其平行于平面x+y+z=1~

令 f(x，y，z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 11，
分别求关于 x、y、z 的偏导数，得 2x、4y、6z，
因为切平面与 x+y+z = 1 平行，
所以 2x：4y：6z = 1：1：1，
结合曲面方程，可解得切点（√6，√6/2，√6/3）或（-√6，-√6/2，-√6/3），
所以切平面方程为 x+y+z = ±11√6/6 。

利用隐函数求导，令F＝x平方＋2y平方＋3z平方－21，分别求F对x，y，z的一阶偏导数，得到的就是切平面的法向量。
曲面（surface）上的法线向量场（vector field of normals）。
曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界（topological boundary）内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法（unique way）。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。
扩展资料三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。
法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。
如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

设切点为(x0,y0,z0)
F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21
那么求偏导数得到
Fx=2x,Fy=4y,Fz=6z
n=(2x0,4y0,6z0)
和平面的法向量(1,4,6)平行
即
2x0 /1=4y0 /4=6z0 /6
解得
2x0=y0=z0
代入x^2+2y^2+3z^2-21=0
得到21x0^2=21
解得x0=1或 -1
于是切平面方程为

(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0
或
(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0

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嵊泗县13136204514： 偏导数的几何应用 求思路 求曲面x的平方+2y的平方+3z的平方=21上平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程 - ？
焦有感冒：[答案] 设切点为(x0,y0,z0)F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21那么求偏导数得到Fx=2x,Fy=4y,Fz=6zn=(2x0,4y0,6z0)和平面的法向量(1,4,6)平行即2x0 /1=4y0 /4=6z0 /6解得2x0=y0=z0代入x^2+2y^2+3z^2-21=0得到21x0^2=21解得x0=1或 -1...

嵊泗县13136204514： 高等数学偏导数几何应用题目求解 - ？
焦有感冒： 求出切平面的方程 求出四面体互相垂直的3条棱长 求出体积为定值过程如下图:

嵊泗县13136204514： 偏导数的应用的几个题1.求内接于半径为R的球体且体积最大的圆柱体的高.2.求内接于椭圆x*x/a*a+y*y/b*b=1且面积最大的矩形的各边长度.、 - ？
焦有感冒：[答案] 球的方程是 x²+y²+z²=R² 球体内接圆柱在第一象限内是一个半径为 x,高度为 z 的四分之一圆柱,其体积为 ¼ πx²z,球体内接圆柱的体积为其八倍,即 V=2πx²z 令 F(x,y,z) = 2πx²z - λ(x²+y²+z²-R²), F'x = 4πxz - 2λx =0 F'y = -2λy =0 F'z = 2π...

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焦有感冒： 设切点为(x0,y0,z0) F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21 那么求偏导数得到 Fx=2x,Fy=4y,Fz=6z n=(2x0,4y0,6z0) 和平面的法向量(1,4,6)平行 即 2x0 /1=4y0 /4=6z0 /6 解得 2x0=y0=z0 代入x^2+2y^2+3z^2-21=0 得到21x0^2=21 解得x0=1或 -1 于是切平面方程为 (x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0 或 (x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0

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焦有感冒：[答案] 这种题目中间不需要解题过程,法向量垂直于切平面,直接用平面的点法式就可写出切平面方程.2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0

嵊泗县13136204514： 偏导数的几何应用 - ？
焦有感冒：道理很简单,因为曲面方程可化为x²+y²-z-1=0,而由此方程可知:三个偏导数与切平面中的任意向量(x-2,y-1,z-4)的点积正好为0,故三个偏导数就是切平面的法向量.

嵊泗县13136204514： 几重偏导数的意义是什么(几何意义,现实应用的方面)比如多元函数z=f(x,y);z=e^(xy);先对y求偏导数,在对x求偏导数,有什么实际意义?没有几何意义... - ？
焦有感冒：[答案] 一元函数中:y=f(x),对他求导数,就是在x轴的方向上看看函数的变化. 多元函数也是一样,如二元函数,他是一个三维的坐标系,有x、y、z三个轴,对x、y不同的求偏导,就是另一个看成常量,再该轴的方向上求函数的变化.

嵊泗县13136204514： 高等数学 多元函数微分学 偏导数的应用 题目:分解已知正数a为n个数 使得它们的平方和为最小 - ？
焦有感冒： 条件极值问题. 设将a分为a1, a2, ..., an, 构造1拉格朗日函数为 L=(a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2+λ(a1+a2+...+an-a) L'=0: 2a1+λ=0, L'=0: 2a2+λ=0. ............ L'=0: 2an+λ=0. L'=0: a1+a2+...+an=a 由前面n个式子,得 a1=a2=...=an=-λ/2, 代入a1+a2+...+an=a, 得 λ=-2a/n 则 a1=a2=...=an=a/n.

嵊泗县13136204514： 求偏导数问题？
焦有感冒： sin(x/常数)=cos(x/常数)x(1/常数) cos(常数/x)=-sin(常数/x)x(-1/x^2) Zx=cos(x/y)*1/y*cos(y/x)+ sin(x/y)*sin(y/x)*y/x^2

嵊泗县13136204514： 求一道高等数学解题思路! 设 z=z(x,y)是由方程e^z - xyz=0确定的函数,则x的偏导数fx=? - ？
焦有感冒：[选项] A. :z/(1+z) B. y/(x(1+z)) C. z/(x(z-1)) D. y/(x(1-z)) 解题思路